代数学 II 試験略解

問題 14.1. 4 次のヤング図形 λ = について、 ℂ[𝔖_{4}] の元 z = S(1 2) が表現 (π_{λ}, V_{λ}) 上どのような作用を行うか記述しなさい。

(略解)

(★)  S(12) = (12) + (13) + (23) + (14) + (24) + (34).

これを Δ(^{1 4 2 3} ) = Δ_{123} に作用させることを考えればよい。 (★) の右辺の最初の 3 項は Δ_{123} に −1 倍で作用する。あとの 3 項が問題だが、

((14) + (24) + (34)).Δ_{123}
=((14) + (24) + (34)).(X_{1} − X_{2})(X_{1} − X_{3})(X_{2} − X_{3})
=(X_{4} − X_{2})(X_{4} − X_{3})(X_{2} − X_{3})
+(X_{1} − X_{4})(X_{1} − X_{3})(X_{4} − X_{3})
+(X_{1} − X_{2})(X_{1} − X_{4})(X_{2} − X_{4})
=h(X_{1}, X_{2}, X_{3}, X_{4}) とおく。

とやって、 h を計算すればよいわけだ。素直に計算してもよいが、次のように考えると楽になる。命題 9.1 により、 z の作用は定数倍であるはずであることが分かっているので、 h は当然 Δ_{123} の倍数でなければならないわけである。すなわち、展開すると h は X_{4} を含まない式になる。したがって、

h(X_{1}, X_{2}, X_{3}, X_{4}) = h(X_{1}, X_{2}, X_{3}, X_{1})

となっているはずであり、右辺はすぐに Δ_{123} と等しいことが確かめられる。

まとめると、

S(12).Δ_{123} = (−3 + 1)Δ_{123} = −2Δ_{123}

すなわち S(12) は V_{λ} 上 −2 倍として作用する。 (命題 9.1 により、

V_{λ} 上 S(12) はスカラーとして作用するから、上のように Δ(^{1 4 2 3} ) へ

の作用を考えるだけで十分であるのだが、納得がいかない人は Δ(^{1 3 2 4} )

等の上の作用を検討してみてもよい。文字の付け替えだけで同じことをしているのが理解できると思う。 )

問題 14.2. ℂ[𝔖_{4}] の元 x = (1 2)(3 4) + (1 4)(2 3) と、 4 次のヤング図

形 λ = に対して、 x を π_{λ} 上で表現した行列 π_{λ}(x) の最小多項式を求めなさい。

(略解) V_{λ} は次のように与えられる。

V_{λ} = ℂ · (X_{1} − X_{2}) + ℂ · (X_{1} − X_{3}) + ℂ · (X_{1} − X_{4}).

b_{1} = (X_{1} − X_{2}), b_{2} = (X_{1} − X_{3}), b_{3} = (X_{1} − X_{4}) とおくと、

x.b_{1} = (12)(34).(X_{1} − X_{2}) + (14)(23)(X_{1} − X_{2})
= X_{2} − X_{1} + X_{4} − X_{3} = −b_{1} + b_{2} − b_{3}
x.b_{1} = −b_{1} + b_{2} − b_{3}
x.b_{2} = 0
x.b_{3} = −b_{1} + b_{2} − b_{3}

すなわち、 V_{λ} の基底として {b_{1}, b_{2}, b_{3}} を採用したときの π_{λ}(x) の表現行列は、

π_{λ}(x) = (\begin{matrix}−1 & 0 & −1 \\ 1 & 0 & 1 \\ −1 & 0 & −1 \end{matrix})

で与えられる。この行列の特性多項式は T^{3} + 2T^{2} = T^{2}(T + 2). 計算してみると分かるが、最小多項式は T (T + 2) である。 (本問の x は 𝔻_{8} の群環の中心元ともみることができ、そうみなせば補題 10.1 を用いることもできる。 )

問題 14.3. 複素数体 ℂ を部分環として含む環 R の元 x の最小多項式が T^{3} − 1 であるとき、次のような条件を同時に満足する R の元 e_{1}, e_{2}, e_{3} を x を用いて作りなさい。

(1) e_{1} + e_{2} + e_{3} = 1

(2) e_{1}^{2} = e_{1}, e_{2}^{2} = e_{2}, e_{3}^{2} = e_{3}

(3) e_{1}x = x, e_{2}x = ωx, e_{3}x = ω^{2}x

ただし、 ω = \frac{−1+\sqrt{−3}}{2} (1 の 3 乗根の一つ) とする。

(略解) T^{3} − 1 = (T − 1)(T − ω)(T − ω^{2}) であり、 x をその固有値によって分解しようという問題である。

e_{1} = \frac{(x − ω)(x − ω^{2})}{(1 − ω)(1 − ω^{2})} = \frac{x^{2} + x + 1}{3}

e_{2} = \frac{(x − 1)(x − ω^{2})}{(ω − 1)(ω − ω^{2})}

e_{3} = \frac{(x − 1)(x − ω)}{(ω^{2} − 1)(ω^{2} − ω)}

とやればよい。

問題 14.4. 次のような条件を同時に満足する正方行列 A の例を挙げよ。 (サイズは問わない) ただし、 E は (A と同じサイズの) 単位行列である。

(1) (A − E)(A^{3} − E) = 0

(2) A は非自明な 3 次の関係式を満足しない。

(略解) 例えば次のようなものがある。

(\begin{matrix}1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & ω & 0 \\ 0 & 0 & 0 & ω^{2} \end{matrix})

ここに ω は前問と同じ。 ω のような複素数を避けたい場合には、 C_{3} の表現を思い出しつつ、次のようなものを作ればよい。

(\begin{matrix}1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & −1 & −1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix})

問題 14.5. 𝔻_{8} = ⟨a, b; a^{4} = e, b^{2} = e, bab^{−1} = a^{−1}⟩ の群環 ℂ[𝔻_{8}] の元 c = (b + a^{2}b) の (ℂ 上の) 最小多項式を求めなさい。

(略解)

c = (1 + a^{2})b
c^{2} = (1 + a^{2})^{2}b^{2} = (1 + 2a^{2} + 1) = 2(1 + a^{2})
c^{3} = 2(1 + a^{2})(1 + a^{2})b = 4(1 + a^{2})b = 4c

ゆえに、 c は c^{3} − 4c を満たす。 c の最小多項式は T (T^{2} − 4) = T (T − 2)(T + 2) の約数ということになる。 c が 2 次の関係式を満たすのは不

4 代数学 II 試験略解

可能であるのが、すぐに確かめられるから、 c の最小多項式は、ちょうど T (T − 2)(T + 2) である。