代数学II 試験略解

問題 14.1   $4$ 次のヤング図形 $\lambda={\scriptsize\yng(2,1,1)}$ について、 ${\mathbb{C}}[\mathfrak{S}_4]$ の元 $z=S(1 2)$ が表現 $(\pi_\lambda,V_\lambda)$ 上 どのような作用を行うか記述しなさい。

(略解)

$$S(12)=(12)+(13)+(23)+(14)+(24)+(34).$$ (★)

これを $\Delta({\scriptsize\young(14,2,3)})=\Delta_{123}$ に作用させることを 考えればよい。 (★)の右辺の最初の3項は $\Delta_{123}$ に $-1$ 倍で作用する。 あとの3項が問題だが、

$$((14)+(24)+(34) ).\Delta_{123}$$

$$= ((14)+(24)+(34) ).(X_1-X_2)(X_1-X_3)(X_2-X_3)$$

$$= (X_4-X_2)(X_4-X_3)(X_2-X_3)$$

$$+ (X_1-X_4)(X_1-X_3)(X_4-X_3)$$

$$+ (X_1-X_2)(X_1-X_4)(X_2-X_4)$$

$$= h(X_1,X_2,X_3,X_4)$$

とやって、$h$ を計算すればよいわけだ。素直に計算してもよいが、次のように 考えると楽になる。 命題9.1により、$z$ の作用は定数倍であるはずであることが分かっているので、 $h$ は当然 $\Delta_{123}$ の倍数でなければならないわけである。 すなわち、展開すると $h$ は $X_4$ を含まない式になる。したがって、

$$h(X_1,X_2,X_3,X_4)=h(X_1,X_2,X_3,X_1)$$

となっているはずであり、右辺はすぐに $\Delta_{123}$ と等しいことが 確かめられる。

まとめると、

$$S(12).\Delta_{123}=(-3+1)\Delta_{123}=-2 \Delta_{123}$$

すなわち $S(12)$ は $V_\lambda$ 上 $-2$ 倍として作用する。 (命題9.1 により、$V_\lambda$ 上 $S(12)$ はスカラーとして作用するから、 上のように $\Delta({\scriptsize\young(14,2,3)})$ への作用を考えるだけで 十分であるのだが、納得がいかない人は $\Delta({\scriptsize\young(13,2,4)})$ 等の上の作用を検討してみてもよい。 文字の付け替えだけで同じことをしているのが理解できると思う。)

問題 14.2   ${\mathbb{C}}[\mathfrak{S}_4]$ の元 $x=(1 2)(3 4)+(1 4)(2 3)$ と、 4次のヤング図形 $\lambda=\yng(3,1)$ に対して、 $x$ を $\pi_\lambda$ 上で表現した行列 $\pi_\lambda(x)$ の 最小多項式を求めなさい。

(略解) $V_\lambda$ は次のように与えられる。

$$V_\lambda= {\mathbb{C}}\cdot (X_1-X_2)+ {\mathbb{C}}\cdot (X_1-X_3)+ {\mathbb{C}}\cdot (X_1-X_4).$$

$b_1=(X_1-X_2),\quad b_2=(X_1-X_3),\quad b_3=(X_1-X_4)$ とおくと、

$$x.b_1 =(12)(34).(X_1-X_2)+(14)(23)(X_1-X_2)$$

$$=X_2-X_1+X_4-X_3= -b_1+b_2-b_3$$

$$x.b_1=-b_1+b_2-b_3$$

$$x.b_2=0$$

$$x.b_3=-b_1+b_2-b_3$$

すなわち、$V_\lambda$ の基底として $\{b_1,b_2,b_3\}$ を採用したときの $\pi_\lambda(x)$ の表現行列は、

$$\pi_\lambda(x)= \begin{pmatrix} -1 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & -1 \end{pmatrix}$$

で与えられる。 この行列の特性多項式は $T^3+2T^2=T^2(T+2)$. 計算してみると分かるが、 最小多項式は $T(T+2)$ である。 (本問の $x$ は $\mathbb{D}_8$ の群環の中心元ともみることができ、 そうみなせば補題10.1を用いることもできる。)

問題 14.3   複素数体 ${\mathbb{C}}$ を部分環として含む環 $R$ の元 $x$ の最小多項式が $T^3-1$ であるとき、次のような条件を同時に満足する $R$ の元 $e_1,e_2,e_3$ を $x$ を用いて作りなさい。

1. $e_1+e_2+e_3=1$
2. $e_1^2=e_1,\quad e_2^2=e_2,\quad e_3^2=e_3$
3. $e_1 x = x,\quad e_2 x=\omega x,\quad e_3 x=\omega^2 x$

ただし、 $\omega=\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}$ ($1$ の3乗根の一つ)とする。

(略解) $T^3-1=(T-1)(T-\omega)(T-\omega^2)$ であり、$x$ をその固有値によって 分解しようという問題である。

$$e_1=\frac{(x-\omega)(x-\omega^2)}{(1-\omega)(1-\omega^2)}=\frac{x^2+x+1}{3}$$

$$e_2=\frac{(x-1)(x-\omega^2)}{(\omega-1)(\omega-\omega^2)}$$

$$e_3=\frac{(x-1)(x-\omega)}{(\omega^2-1)(\omega^2-\omega)}$$

とやればよい。

問題 14.4   次のような条件を同時に満足する正方行列 $A$ の例を挙げよ。(サイズは問わない) ただし、$E$ は($A$ と同じサイズの)単位行列である。

1. $(A-E)(A^3-E)=0$
2. $A$ は非自明な3次の関係式を満足しない。

(略解) 例えば次のようなものがある。

$$\begin{pmatrix} 1 &1 &0 &0 \\ 0 &1 &0 &0 \\ 0 &0 &\omega &0\\ 0 &0 &0 &\omega^2 \end{pmatrix}$$

ここに $\omega$ は 前問と同じ。$\omega$ のような複素数を避けたい場合には、 $C_3$ の表現を思い出しつつ、次のようなものを作ればよい。

$$\begin{pmatrix} 1 &1 &0 &0 \\ 0 &1 &0 &0 \\ 0 &0 &-1 &-1\\ 0 &0 &1 &0 \end{pmatrix}$$

問題 14.5   $\mathbb{D}_{8}=\langle a,b; a^4=e,b^2=e,bab^{-1}=a^{-1}\rangle$ の 群環 ${\mathbb{C}}[\mathbb{D}_{8}]$ の元 $c=(b+a^2 b)$ の( ${\mathbb{C}}$ 上の) 最小多項式を求めなさい。

(略解)

$$c=(1+a^2)b$$

$$c^2=(1+a^2)^2 b^2= (1+2a^2+1) =2(1+a^2)$$

$$c^3=2(1+a^2)(1+a^2)b=4(1+a^2)b=4c$$

ゆえに、$c$ は $c^3-4c$ を満たす。$c$ の最小多項式は $T(T^2-4)=T(T-2)(T+2)$ の約数ということになる。 $c$ が2次の関係式を満たすのは不可能であるのが、 すぐに確かめられるから、 $c$ の最小多項式は、ちょうど $T(T-2)(T+2)$ である。