代数学 I 特論要約 NO.1

今日のテーマ

本講義の目標の説明体の定義を思い起こそう。基本は、「加減乗除がそのなかでできるよ

うな集合」ということであるが、ここではもう少し精密なところまで思い出しておく。

定義 1.1. 集合 K が体であるとは、 K に「加法」と呼ばれる演算 (＋) と、「乗法」と呼ばれる演算 (×) が定義されていて、次の性質を満たすときにいう。

(1) K は加法について可換群をなす。 (加法に関する単位元を普通 0 と表記する。 )

(2) K は乗法について可換半群をなす (つまり、乗法について結合法則と交換法則が成り立つ)。

(3) 分配法則が成り立つ。

(4) K は (乗法に関する) 単位元をもつ。

(5) K の 0 以外の各元は K のなかに (乗法に関する) 逆元をもつ。

補題 1.1. K_{2} = { 偶, 奇 } とおき、 K_{2} に次のような和と積を導入しよう。

+ 偶奇 偶偶奇 奇奇偶\begin{matrix}× & 偶 & 奇 \\ 偶 & 偶 & 偶 \\ 奇 & 偶 & 奇 \end{matrix}

この時 K_{2} はこの演算で体であることがわかる。

上の補題で、 K_{2} の元を偶、奇と書いたのは便宜上で、別に a, b でも、ア、イでも、その他何でも構わない。

我々の体 K_{2} においては、 2_{K_{2}} = 0_{K_{2}}、もっと簡単に書くと

2 = 0

が成り立っている。 (それ以外は普通の加法、乗法である。 ) もっと一般に、ひとつひとつの素数 p にたいして

p = 0

が成り立つような体 K_{p} がそれぞれ存在する。このような体についても代数の一般論が展開され、重要な結果がいろいろと知られている。 (それらは、 CD, DVD, 本の ISBN コード、コンピュータの通信手段、デジタル放送など様々な場所で用いられている。 )

本講義ではこれらの体をどう扱うか、そしてどのような結果が知られているかについて講述したい。

問題 1.1. K_{2} に対して、分配法則 a(b + c) = ab + ac が成立することを総当たりで示しなさい。