代数学I特論要約 No.1

今日のテーマ

体の定義を思い起こそう。基本は、「加減乗除がそのなかでできるような集合」 ということであるが、ここではもう少し精密なところまで思い出しておく。

定義 1.1   集合 $K$ が体であるとは、$K$ に「加法」と呼ばれる演算 $($＋$)$ と、 「乗法」と呼ばれる演算 $(\times)$ が定義されていて、 次の性質を満たすときにいう。

1. $K$ は加法について可換群をなす。(加法に関する単位元を普通 0 と表記する。)
2. $K$ は乗法について可換半群をなす(つまり、乗法について 結合法則と交換法則が成り立つ)。
3. 分配法則が成り立つ。
4. $K$ は(乗法に関する) 単位元をもつ。
5. $K$ の 0 以外の各元は $K$ のなかに(乗法に関する) 逆元をもつ。

補題 1.1   $K_2=\{{\text{偶}}, {\text{奇}}\}$ とおき、$K_2$ に次のような和と積を導入しよう。

$+$	${\text{偶}}$	${\text{奇}}$
${\text{偶}}$	${\text{偶}}$	${\text{奇}}$
${\text{奇}}$	${\text{奇}}$	${\text{偶}}$

        

$\times$	${\text{偶}}$	${\text{奇}}$
${\text{偶}}$	${\text{偶}}$	${\text{偶}}$
${\text{奇}}$	${\text{偶}}$	${\text{奇}}$

この時 $K_2$ はこの演算で体であることがわかる。

上の補題で、$K_2$ の元を 偶、奇 と書いたのは便宜上で、別に $a,b$ でも、 ア、イでも、その他何でも構わない。

我々の体 $K_2$ においては、 $2_{K_2}=0_{K_2}$、もっと簡単に書くと

$$2=0$$

が成り立っている。(それ以外は普通の加法、乗法である。) もっと一般に、ひとつひとつの素数 $p$ にたいして

$$p=0$$

が成り立つような体 $K_p$ がそれぞれ存在する。 このような体についても代数の一般論が展開され、 重要な結果がいろいろと知られている。 (それらは、CD, DVD, 本の ISBN コード、コンピュータの通信手段、デジタル放送 など様々な場所で用いられている。)

本講義では これらの体をどう扱うか、そしてどのような結果が知られているかについて 講述したい。

問題 1.1   $K_2$ に対して、分配法則 $a(b+c)=ab+ac$ が成立することを総当たりで示しなさい。