代数学 I 特論要約 NO.2

今日のテーマ

体 𝔽_{p}

定理 2.1. 素数 p に対して、 ℤ/pℤ は体である。

この体を、 𝔽_{p} と書く。

𝔽_{p} は次の意味で基本的である。

命題 2.2. 体 K にたいして、次のいずれかが成り立つ。

(1) どんな正の整数 n にたいしても、 n_{K} ≠ 0. このとき K は ℚ を部分体として含む。

(2) ある正の整数 n に対して、 n_{K} = 0、このとき、このような n のうちで最小のものを p と書くと、 p は素数で、 K は 𝔽_{p} を部分体として含む。

(正の整数 n にたいして、\underbrace{1_{K} + 1_{k} + ⋯ + 1_{K}}_{n} のことを n_{K} とかく)

問題 2.1. 100 以上の素数 p と、\sqrt{p} 程度の大きさの整数 a を自分で適当に決めて、 𝔽_{p} での a の逆数を求めなさい。 (他の人と同じ例にならないように留意すること。 )