代数学I特論要約 No.2

今日のテーマ

定理 2.1   素数 $p$ に対して、 ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/p {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ は体である。

この体を、 ${\mathbb{F}}_p$ と書く。

${\mathbb{F}}_p$ は次の意味で基本的である。

命題 2.2   体 $K$ にたいして、次のいずれかが成り立つ。

1. どんな正の整数 $n$ にたいしても、 $n_K\neq 0$. このとき $K$ は $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ を部分体として含む。

2. ある正の整数 $n$ に対して、$n_K=0$、 このとき、このような $n$ のうちで最小のものを $p$ と書くと、$p$ は素数で、 $K$ は ${\mathbb{F}}_p$ を部分体として含む。

(正の整数 $n$ にたいして、 $\underbrace{1_K+1_k+\dots +1_K}_{n}$ のことを $n_K$ とかく)

問題 2.1   100 以上の素数 $p$ と、$\sqrt{p}$ 程度の大きさの整数 $a$ を自分で適当に 決めて、 ${\mathbb{F}}_p$ での $a$ の逆数を求めなさい。(他の人と同じ例にならないように 留意すること。)