代数学 I 特論要約 NO.3

今日のテーマ

体 𝔽_{p} 上の線型代数、多項式環体 K 上の線型代数、とくに、行列、その和、差、積、行列式、線型

方程式の解法 (掃き出し法、クラメールの公式) などは ℂ や ℝ 上の場合と全く同様に扱える。

例えば 𝔽_{5} 上の行列

A = (\begin{matrix}1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix})

の逆行列を求めてみよう。通常と同様に、それは

(−2)^{−1} (\begin{matrix}4 & −2 \\ −3 & 1 \end{matrix})

で与えられる。注意せねばならないことは、 𝔽_{5} での −2(= 3) の逆元は 2 であるということである。すなわち

A^{−1} = (−2)^{−1} (\begin{matrix}4 & −2 \\ −3 & 1 \end{matrix}) = 2 (\begin{matrix}4 & −2 \\ −3 & 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix}3 & 1 \\ 4 & 2 \end{matrix})

である。

体 K 上の多項式を考えることもできる。 K 上の (X を変数とする) 一変数多項式の全体は環をなし、それを K[X] と書く。多項式の既約性なども ℝ 上のものと同様に定義される。

補題 3.1. K 上の一変数多項式 f ∈ K[X] が二次式もしくは三次式であるとき、 f が (K 上の多項式として) 既約であるための必要十分条件は、 f(a) = 0 となる元 a ∈ K が存在することである。

問題 3.1. 𝔽_{23} 上の行列

(\begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & 7 & 8 \\ 9 & 10 & 1 & 0 \\ 2 & 4 & 8 & 16 \end{matrix})

の行列式と逆行列を求めなさい。

問題 3.2. 10 以上の素数 p を適当に選んで、 𝔽_{p} 上既約な 3 次式の例を一つ挙げなさい。理由も忘れずに書くこと。