代数学I特論要約 No.3

今日のテーマ

体 $K$ 上の線型代数、 とくに、行列、その和、差、積、行列式、線型方程式の解法(掃き出し法、 クラメールの公式)などは ${\mathbb{C}}$ や $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ 上の場合と全く同様に扱える。

例えば ${\mathbb{F}}_5$ 上の行列

$$A= \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$$

の逆行列を求めてみよう。通常と同様に、それは

$$(-2)^{-1} \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}$$

で与えられる。注意せねばならないことは、 ${\mathbb{F}}_5$ での $-2(=3)$ の逆元は $2$ であるということである。すなわち

$$A^{-1}= (-2)^{-1} \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix... ... & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 4 & 2 \end{pmatrix}$$

である。

体 $K$ 上の多項式を考えることもできる。 $K$ 上の($X$ を変数とする)一変数多項式の全体は環をなし、それを $K[X]$ と書く。 多項式の既約性なども $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ 上のものと同様に定義される。

補題 3.1   $K$ 上の 一変数多項式 $f\in K[X]$ が二次式もしくは三次式であるとき、 $f$ が ($K$ 上の多項式として)既約であるための必要十分条件は、 $f(a)=0$ となる元 $a\in K$ が存在することである。

問題 3.1   ${\mathbb{F}}_{23}$ 上の行列

$$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & 7& 8 \\ 9 & 10 & 1& 0\\ 2 & 4 & 8 & 16 \end{pmatrix}$$

の行列式と逆行列を求めなさい。

問題 3.2   $10$ 以上の素数 $p$ を適当に選んで、 ${\mathbb{F}}_p$ 上既約な3次式の例を一つ挙げなさい。 理由も忘れずに書くこと。