代数学 I 特論要約 NO.4

今日のテーマ

有限体上の方程式、根の添加元の個数が有限個の体を有限体と呼ぶ。この講義で既にでて来たの

は 𝔽_{p} (p は素数) であるが、それ以外にも存在する。有限体上の方程式は総当たりで解くことができる。例えば 𝔽_{11} 上の方程式 X^{2} − 2 = 0 は解をもたないが、 X^{2} − 3 = 0

は解 ±5 をもつことがわかる。

𝔽_{11} には 2 の平方根がない訳だが、 (ℝ に\sqrt{−1} を付け加えて ℂ を得たように) 𝔽_{11} を拡大した体 K をつくって、 K では 2 が平方根をもつようにできる。

命題 4.1. 体 K 上の一変数既約多項式 f(X) ∈ K[X] にたいして、 I = f(X)K[X] とおくと、 I は K[X] のイデアルで、 L = K[X]/I は体である。 f の次数を d とすると、 L は K 上の d 次元ベクトル空間の構造をあわせもち、 K が有限体ならば L の元の個数は #(K)^{d} 個である。

上の命題の後半はもっと一般化できて、次のことがわかる。

補題 4.1. K は有限体で、 L はその拡大体であるとする。このとき、

(1) L は K 上のベクトル空間の構造をもつ。 (L の K-ベクトル空間としての次元を [L : K] とよび、 L の K 上の拡大次数と呼ぶ。 )

(2) K が有限体で、拡大次数 [L : K] も有限ならば、 L も有限体で、

#(L) = #(K)^{[L:K]}

がなりたつ。

(3) 任意の有限体 K に対して、その標数 p は正で、 K の元の個数 #(K) は p の巾である。

問題 4.1. 7 以上の素数 p を二つ選んで、おのおのの p について X^{2} − 3X + 5 = 0 が 𝔽_{p} で解をもつかどうか判定しなさい。