代数学I特論要約 No.4

今日のテーマ

元の個数が有限個の体を有限体と呼ぶ。 この講義で既にでて来たのは ${\mathbb{F}}_p$ ($p$ は素数)であるが、 それ以外にも存在する。

有限体上の方程式は総当たりで解くことができる。

例えば ${\mathbb{F}}_{11}$ 上の方程式 $X^2-2=0$ は解をもたないが、$X^2-3=0$ は 解 $\pm 5$ をもつことがわかる。

${\mathbb{F}}_{11}$ には $2$ の平方根がない訳だが、( $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ に $\sqrt{-1}$ を付け加えて ${\mathbb{C}}$ を得たように) ${\mathbb{F}}_{11}$ を拡大した体 $K$ をつくって、 $K$ では $2$ が平方根をもつようにできる。

命題 4.1   体 $K$ 上の一変数既約多項式 $f(X)\in K[X]$ にたいして、 $I=f(X) K[X]$ とおくと、$I$ は $K[X]$ のイデアルで、 $L=K[X]/I$ は体である。$f$ の次数を $d$ とすると、 $L$ は $K$ 上の $d$ 次元ベクトル空間 の構造をあわせもち、 $K$ が有限体ならば $L$ の元の個数は $\char93 (K)^d$ 個である。

上の命題の後半はもっと一般化できて、次のことがわかる。

補題 4.1   $K$ は有限体で、$L$ はその拡大体であるとする。このとき、

1. $L$ は $K$ 上のベクトル空間の構造をもつ。 ($L$ の $K$-ベクトル空間としての次元を $[L:K]$ とよび、$L$ の $K$ 上の 拡大次数と呼ぶ。)
2. $K$ が有限体で、拡大次数 $[L:K]$ も有限ならば、 $L$ も 有限体で、
   $$\char93 (L)=\char93 (K)^{[L:K]}$$
   がなりたつ。
3. 任意の有限体 $K$ に対して、その標数 $p$ は正で、 $K$ の元の個数 $\char93 (K)$ は $p$ の巾である。

問題 4.1  

$7$ 以上の素数 $p$ を二つ選んで、おのおのの $p$ について $X^2-3 X+5=0$ が ${\mathbb{F}}_p$ で解をもつかどうか 判定しなさい。