代数学 I 特論要約 NO.5

今日のテーマ

体の乗法群体 K に対して、 K \ {0} は (乗法に関して) 群をなす。これを K の

乗法群と呼び、 K^{×} で書き表す。

参考: 一般に、 (単位元をもつ結合的な) 環 R に対して R の元で、 R 内に逆元をもつようなものの全体を R^{×} と書く。 R^{×} も乗法に関して群をなす。 )

有限群 G に対して、 G の元の個数 (位数) を |G| と書くと G の任意の元 g は g^{|G|} = 1 を満たすこと (ラグランジュの定理) を思い出しておこう。

補題 5.1. 有限体 K に対して、 #(K) = q と書くと、 K^{×} の任意の元 x に対して、 x^{q−1} = 1 がなりたつ。

系 5.1. 有限体 K に対して、 #(K) = q と書くと、 K の任意の元 x に対して、 x^{q} = x がなりたつ。とくに、 K の元は X^{q} − X の根の全体とちょうど一致する。

X^{q} − X = ∏_{a∈K}(X − a)

系 5.2. 𝔽_{p} 上の既約 d-次式は必ず X^{p^{d}} − X の約数である。

問題 5.1.

(1) 𝔽_{11} の (次数が 2 以上の) 既約多項式 p(X) を一つ選びなさい。 (2) 上の p(X) に対して、 K = 𝔽_{11}[X]/p(X)𝔽_{11}[X] のなかの X の

クラスを a とおく。この時、 a, a + 1 の逆元をそれぞれ求めなさい。

問題 5.2. 二桁以上の素数 p を二つ選んで、それぞれに対して 𝔽_{p}^{×} の生成元を一つ挙げなさい。

問題 5.3. 「参考」の部分、 R^{×} が群であることの証明をせよ。