代数学 I 特論要約 NO.6

今日のテーマ

有限体の乗法群は巡回群であること

定義 6.1 (オイラーの関数). 1, 2, …, n の中で、 n と互いに素な数の個数を φ(n) と書く。

補題 6.1. 位数 n の巡回群を C_{n} = ⟨a; a^{n} = e⟩ とかく。このとき、

(1) φ(n) は、 C_{n} の生成元 (=位数がちょうど n と一致するもの) の個数と等しい。

(2) 一般に、 C_{n} の元のうち位数がちょうど d に一致するものの個数は、

\begin{cases}ϕ(d) & (d が n の約数のとき) \\ 0 & (それ以外のとき) \end{cases}

であたえられる。

補題 6.2. 体 K の乗法群 K^{×} の元で、位数が n のものは φ(n) 個以下である。

命題 6.1. 有限体 K の乗法群 K^{×} は必ず巡回群である。

補題 6.3. p は素数であるとし、 q = p^{n} (n は正の整数) とする。このとき、 𝔽_{p} の多項式 f(X) = X^{q} − X について、 𝔽_{p} の拡大体 K で、次のような性質をみたすものが存在する。

(1) f は K 上の多項式として一次式の積に分解する。

(2) K の元は全て f の根である。

有限体の元の個数は必ず素数の巾だったことを思い出しておこう。逆に、次のことが成り立つ。

定理 6.2. 素数 p の巾 p^{n} が与えられたとき、元の個数が p^{n} の体 K が存在する。 K は同型を除いて一意的である。

系 6.1. 任意の素数 p と任意の正の整数 d に対して、 𝔽_{p} 上の既約 d 次式が少なくとも一つ存在する。

定義 6.2. 元の個数が q = p^{n} の体のことを 𝔽_{q} と書く。

問題 6.1. 10 以上の素数 p と 2 以上の整数 d を各自で決めて、 𝔽_{p} 上既約かつモニックな多項式を二つ与え (f, g)、 𝔽_{p}[X]/f(X)𝔽_{p}[X] での g の根を書き下しなさい。