代数学I特論要約 No.06

今日のテーマ

定義 06.1 (オイラーの関数)   $1,2,\dots,n$ の中で、$n$ と互いに素な数の個数を $\varphi(n)$ と書く。

補題 06.1   位数 $n$ の巡回群を $C_n=\langle a ; a^n=e\rangle$ とかく。このとき、

1. $\varphi(n)$ は、$C_n$ の 生成元(=位数がちょうど $n$ と一致するもの)の個数と等しい。
2. 一般に、$C_n$ の元のうち位数がちょうど $d$ に一致するものの 個数は、
   $$\begin{cases} \phi(d) & \text{($d$ が $n$ の約数のとき)} \\ 0 & \text{(それ以外のとき)}\\ \end{cases}$$
   であたえられる。

補題 06.2   体 $K$ の乗法群 $K^{\times}$ の元で、位数が $n$ のものは $\varphi(n)$ 個 以下である。

命題 06.1   有限体 $K$ の乗法群 $K^\times$ は必ず巡回群である。

補題 06.3   $p$ は素数であるとし、$q=p^n$ ($n$ は正の整数)とする。 このとき、 ${\mathbb{F}}_p$ の多項式 $f(X)=X^q-X$ について、 ${\mathbb{F}}_p$ の拡大体 $K$ で、 次のような性質をみたすものが存在する。

1. $f$ は $K$ 上の多項式として一次式の積に分解する。
2. $K$ の元は全て $f$ の根である。

有限体の元の個数は必ず素数の巾だったことを思い出しておこう。逆に、 次のことが成り立つ。

定理 06.2   素数 $p$ の巾 $p^n$ が与えられたとき、元の個数が $p^n$ の体 $K$ が存在する。 $K$ は同型を除いて一意的である。

系 06.1   任意の素数 $p$ と任意の正の整数 $d$ に対して、 ${\mathbb{F}}_p$ 上の既約 $d$ 次式が 少なくとも一つ存在する。

定義 06.2   元の個数が $q=p^n$ の体のことを ${\mathbb{F}}_q$ と書く。

問題 06.1   $10$ 以上の素数 $p$ と $2$ 以上の整数 $d$ を各自で決めて、 ${\mathbb{F}}_p$ 上既約かつモニックな多項式を二つ与え($f,g$)、 ${\mathbb{F}}_p[X]/f(X){\mathbb{F}}_p[X]$ での $g$ の根を書き下しなさい。