代数学 I 特論要約 NO.7

今日のテーマ

フロベニウス準同型標数 p の体や、それを含む環には、面白い自己準同型が存在する。

命題 7.1. R は (単位元をもつ可換) 環で、 p_{R} = 0_{R} であるとする。 (これは R が 𝔽_{p} を含むと言っても同じ。 )

このとき、 ϕ : R → R を

ϕ(x) = x^{p}

で定めると、 ϕ は R から R への環準同型になる。 (ϕ のことをフロベニウス準同型と呼ぶ。 )

この命題を用いて先週やり残した部分を証明しておこう。

補題 7.1. p は素数であるとし、 q = p^{n} (n は正の整数) とする。標数 p の任意の体 K に対して、

{x ∈ K; x^{q} = x}

は K の (有限) 部分体をなす。

さらに次のことの証明が残っていた。 • 元の数が p^{n} の体は同型を除いて唯一つである。

• 任意の素数 p と任意の正の整数 d に対して、 𝔽_{p} 上の既約 d 次

式が少なくとも一つ存在する。ついでに多項式の性質の落ち穂拾いもしておこう。

• 体上の一変数 d 次多項式の根は d 個以下である。

• 体 K 上の一変数多項式 f(X) にたいして、その微分 f′(X) が定義される。微分は

(af + bg)′ = af′ + bg′ (fg)′ = f′g + fg′ (f, g ∈ K[X], a, b ∈ K)

なる公式を満足する。

• 体上の一変数多項式 f が重根をもつ必要十分条件は、 f と f′ が共通因数をもつことである。

命題 7.2. 有限体上の既約な一変数多項式は重根をもたない。

問題 7.1.

(1) 素数 p > 10 を選んで 𝔽_{p} 上の 3 次既約多項式 f(X) ∈ 𝔽_{p}[X] の例を一つ挙げなさい。

(2) 上の p, f に対して、 L = 𝔽_{p}[X]/(f(X)𝔽_{p}[X]) とおく。 L での X のクラスを a と書いたとき、 a, a^{p}, a^{p^{2}} を求めなさい。

(3) f の L での根を a を用いてあらわし、 L 上で f を因数分解しなさい。