代数学I特論要約 No.07

今日のテーマ

標数 $p$ の体や、それを含む環には、面白い自己準同型が存在する。

命題 07.1   $R$ は(単位元をもつ可換)環で、 $p_R=0_R$ であるとする。(これは $R$ が ${\mathbb{F}}_p$ を含むと言っても同じ。)

このとき、 $\phi:R\to R$ を

$$\phi(x)=x^p$$

で定めると、 $\phi$ は $R$ から $R$ への環準同型になる。 ($\phi$ のことをフロベニウス準同型と呼ぶ。)

この命題を用いて先週やり残した部分を証明しておこう。

補題 07.1   $p$ は素数であるとし、 $q=p^n$ ($n$ は正の整数)とする。 標数 $p$ の任意の体 $K$ に対して、

$$\{ x\in K; x^q=x\}$$

は $K$ の(有限)部分体をなす。

さらに次のことの証明が残っていた。

• 元の数が $p^n$ の体は同型を除いて唯一つである。

• 任意の素数 $p$ と任意の正の整数 $d$ に対して、 ${\mathbb{F}}_p$ 上の既約 $d$ 次式が 少なくとも一つ存在する。

ついでに多項式の性質の落ち穂拾いもしておこう。

• 体上の一変数 $d$ 次多項式の根は $d$ 個以下である。

• 体 $K$ 上の一変数多項式 $f(X)$ にたいして、その微分 $f'(X)$ が定義される。 微分は
  $$(a f+b g)'= a f'+b g' \quad (fg)'=f'g+fg' \quad (f,g\in K[X], a,b \in K)$$
  なる公式を満足する。

• 体上の一変数多項式 $f$ が重根をもつ必要十分条件は、 $f$ と $f'$ が共通因数をもつことである。

命題 07.2   有限体上の既約な一変数多項式は重根をもたない。

問題 07.1  

1. 素数 $p>10$ を選んで ${\mathbb{F}}_p$ 上の3 次既約多項式 $f(X)\in {\mathbb{F}}_p[X]$ の例を 一つ挙げなさい。
2. 上の $p,f$ に対して、 $L={\mathbb{F}}_p[X]/(f(X){\mathbb{F}}_p[X])$ とおく。 $L$ での $X$ のクラスを $a$ と書いたとき、 $a,a^p,a^{p^2}$ を 求めなさい。
3. $f$ の $L$ での根を $a$ を用いてあらわし、$L$ 上で $f$ を 因数分解しなさい。