代数学 I 特論要約 NO.8

今日のテーマ

有限体のガロア理論

補題 8.1. 体 K から体 L への環準同型写像は必ず単射である。もしそのような準同型写像が存在すれば、 K と L の標数は等しい。

定義 8.1. 体 K の拡大体 L にたいし、 L から L への環自己同型で、 K 上恒等写像に等しいものを L の K 上の自己同型という。 L の K 上の自己同型の全体を Aut_{K}(L) で書きあらわす。

補題 8.2. 𝔽_{p^{r}} から 𝔽_{p^{s}} への環準同型写像が存在するための必要十分条件は、 r が s の約数であることである。さらに、そのとき 𝔽_{p^{r}} から 𝔽_{p^{s}} への環準同型写像の\underline{像}は一意的である。

上の補題により、正の整数 s, t にたいして、 𝔽_{p^{s}} は 𝔽_{p^{st}} の部分体と見るのが普通であるので、以下そのようにする。

命題 8.1.

Aut_{𝔽_{p^{s}}}(𝔽_{p^{st}}) ≅ C_{t}

ここで、左辺の生成元としては

ϕ^{s}(x) = x^{p^{s}}

(ϕ は前回出て来たフロベニウス写像。 ϕ^{s} は 𝔽_{p^{s}} に関するフロベニウス準同型と呼ばれる) を採ることができる。

定理 8.2. 𝔽_{p^{s}} と 𝔽_{p^{st}} のあいだの中間体と、 C_{t} の部分群とは一対一に対応する。

問題 8.1. 𝔽_{3} 上の多項式 f(X) = X^{6} + X − 1 について、 (1) f は 𝔽_{3} 上一次の因数をもたないことを示しなさい。

(2) f は 𝔽_{3} 上二次の因数をもたないことを示しなさい。 (ヒント: f と X^{3^{2}} − X との GCD を考えよ。 )

(3) f は 𝔽_{3} 上三次の因数をもたないことを示しなさい。

(4) f は既約であることを示しなさい。 (これを直接示すような解答を得た場合には上の (1)-(3) は省略しても構わない。 )

(5) K = 𝔽_{3} と L = 𝔽_{3}[X]/f(X)𝔽_{3}[X] の中間体を全て求めよ。