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代数学I特論要約 No.08

今日のテーマ

\fbox{有限体のガロア理論}

補題 08.1   体 $ K$ から 体 $ L$ への環準同型写像は必ず単射である。 もしそのような準同型写像が存在すれば、$ K$$ L$ の標数は等しい。

定義 08.1   体 $ K$ の拡大体 $ L$ にたいし、$ L$ から $ L$ への環自己同型で、 $ K$ 上恒等写像に等しいものを $ L$$ K$ 上の自己同型という。 $ L$$ K$ 上の自己同型の全体を $ \operatorname{Aut}_K(L)$ で書きあらわす。

補題 08.2   $ {\mathbb{F}}_{p^r}$ から $ {\mathbb{F}}_{p^s} $ への環準同型写像が存在するための 必要十分条件は、 $ r$$ s$ の約数であることである。 さらに、そのとき $ {\mathbb{F}}_{p^r}$ から $ {\mathbb{F}}_{p^s} $ への環準同型写像の は一意的である。

上の補題により、正の整数 $ s,t$ にたいして、 $ {\mathbb{F}}_{p^s} $ $ {\mathbb{F}}_{p^{s t}}$ の部分体と見るのが普通であるので、 以下そのようにする。

命題 08.1  

$\displaystyle \operatorname{Aut}_{{\mathbb{F}}_{p^s}}({\mathbb{F}}_{p^{s t}})\cong C_t
$

ここで、左辺の生成元としては

$\displaystyle \phi^s(x)=x^{p^s}
$

($ \phi$ は前回出て来たフロベニウス写像。$ \phi^s$ $ {\mathbb{F}}_{p^s} $ に関するフロベニウス準同型と呼ばれる)を採ることができる。

定理 08.2   $ {\mathbb{F}}_{p^s} $ $ {\mathbb{F}}_{p^{s t}}$ のあいだの中間体と、$ C_t$ の部分群とは 一対一に対応する。

問題 08.1   $ {\mathbb{F}}_3$ 上の多項式 $ f(X)=X^6+X-1$ について、
  1. $ f$ $ {\mathbb{F}}_3$ 上一次の因数をもたないことを示しなさい。
  2. $ f$ $ {\mathbb{F}}_3$ 上二次の因数をもたないことを示しなさい。 (ヒント: $ f$$ X^{3^2}-X$ との GCD を考えよ。)
  3. $ f$ $ {\mathbb{F}}_3$ 上三次の因数をもたないことを示しなさい。
  4. $ f$ は既約であることを示しなさい。 (これを直接示すような解答を得た場合には上の (1)-(3)は省略しても構わない。)
  5. $ K={\mathbb{F}}_3$ $ L={\mathbb{F}}_{3}[X]/f(X){\mathbb{F}}_3[X]$ の中間体を全て求めよ。



平成16年11月29日