代数学 I 特論要約 NO.9

今日のテーマ復習と例

例 9.1. p = 13 とし、 K = 𝔽_{p} 上の多項式

f(X) = X^{6} − 2

を考えよう。

(1) (a) f と X^{p^{2}} − X とは互いに素である。 (b) f と X^{p^{3}} − X とは互いに素である。したがって、 f は一次、二次、三次の因数をもたない。すな

わち、 f は K 上既約である。

(2) f の根の一つを ξ とし、 L = K(ξ) とおくと、 L は K の 6 次拡大である。

(3) フロベニウス写像 F によって、 ξ ∈ L は

F (ξ) = ξ^{p} = 4ξ

と 4ξ にうつる。

(4) L と K のあいだの中間体は、 ℤ/6ℤ の分だけある。具体的には、

L, K(ξ^{2}), K(ξ^{3}), K

である。

面白いことに、 p の値によっては 𝔽_{p} の d 次拡大は X^{d} − a の形の多項式では決して得られないことがある。問題を参照のこと。

例 9.2. p = 11 とし、 K = 𝔽_{p} 上の多項式

f(X) = X^{6} − X − 1

を考えよう。

(1) (a) f と X^{p^{2}} − X とは互いに素である。 (b) f と X^{p^{3}} − X とは互いに素である。したがって、 f は一次、二次、三次の因数をもたない。すな

わち、 f は K 上既約である。

(2) f の根の一つを ξ とし、 L = K(ξ) とおくと、 L は K の 6 次拡大である。

(3) フロベニウス写像 F によって、 ξ ∈ L は

F (ξ) = ξ^{p} = ξ^{5} + ξ + 1

と ξ^{5} + ξ + 1 にうつる。

(4) L と K のあいだの中間体は、 ℤ/6ℤ の分だけある。具体的には、

L, K(ξ + ξ^{11^{2}} + ξ^{11^{4}}), K(ξ + ξ^{11^{3}}), K

である。

上の計算の補足の意味で、 ξ に次々 F を作用させるとどうなるか書いておく。

F^{0}(ξ) = ξ
F^{1}(ξ) = ξ^{5} + ξ + 1
F^{2}(ξ) = 7ξ^{5} + 6ξ^{4} + 4ξ^{3} + 8ξ^{2} + 3ξ + 7
F^{3}(ξ) = 4ξ^{4} + 5ξ^{3} + 9ξ^{2} + 5ξ
F^{4}(ξ) = 2ξ^{5} + ξ^{4} + 4ξ^{3} + ξ^{2} + 10ξ + 2
F^{5}(ξ) = ξ^{5} + 9ξ^{3} + 4ξ^{2} + 2ξ + 1
F^{6}(ξ) = ξ

問題 9.1. p = 11 のとき、 𝔽_{p} 上の多項式 X^{6} − a (a ∈ 𝔽_{p}) は既約になり得ないことを示しなさい。

問題 9.2. p = 17 のとき、 𝔽_{p} 上の 6 次既約多項式の例を見つけ、それが既約であることを示しなさい。