代数学I特論要約 No.09

今日のテーマ

例 09.1   $p=13$ とし、 $K={\mathbb{F}}_{p}$ 上の多項式

$$f(X)=X^6-2$$

を考えよう。

1. 1. $f$ と $X^{p^2}-X$ とは互いに素である。
   2. $f$ と $X^{p^3}-X$ とは互いに素である。
   したがって、$f$ は一次、二次、三次の因数をもたない。すなわち、$f$ は $K$ 上既約である。
2. $f$ の根の一つを $\xi$ とし、$L=K(\xi)$ とおくと、$L$ は $K$ の $6$ 次拡大である。
3. フロベニウス写像 $F$ によって、$\xi \in L$ は
   $$F(\xi)=\xi^p=4 \xi$$
   と $4\xi$ にうつる。
4. $L$ と $K$ のあいだの中間体は、 ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/6{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ の分だけある。 具体的には、
   $$L,K(\xi^2),K(\xi^3) ,K$$
   である。

面白いことに、$p$ の値によっては ${\mathbb{F}}_p$ の $d$ 次拡大は $X^d-a$ の形の多項式では決して得られないことがある。問題を参照のこと。

例 09.2   $p=11$ とし、 $K={\mathbb{F}}_{p}$ 上の多項式

$$f(X)=X^6-X-1$$

を考えよう。

1. 1. $f$ と $X^{p^2}-X$ とは互いに素である。
   2. $f$ と $X^{p^3}-X$ とは互いに素である。
   したがって、$f$ は一次、二次、三次の因数をもたない。すなわち、$f$ は $K$ 上既約である。
2. $f$ の根の一つを $\xi$ とし、$L=K(\xi)$ とおくと、$L$ は $K$ の $6$ 次拡大である。
3. フロベニウス写像 $F$ によって、$\xi \in L$ は
   $$F(\xi)=\xi^p=\xi^5+\xi+1$$
   と $\xi^5+\xi+1$ にうつる。
4. $L$ と $K$ のあいだの中間体は、 ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/6{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ の分だけある。 具体的には、
   $$L,K(\xi+\xi^{11^2}+\xi^{11^4}),K(\xi+\xi^{11^3}) ,K$$
   である。

上の計算の補足の意味で、$\xi$ に次々 $F$ を作用させるとどうなるか書いておく。

$$F^0(\xi) = \xi$$

$$F^1(\xi) =\xi^5+\xi+1$$

$$F^2(\xi) =7\xi^5+6 \xi^4+4 \xi^3 +8 \xi^2 +3 \xi +7$$

$$F^3(\xi) =4 \xi^4 + 5 \xi^3 +9 \xi^2+5\xi$$

$$F^4 (\xi) =2 \xi^5 +\xi^4+4 \xi^3 +\xi^2+10\xi +2$$

$$F^5(\xi) =\xi^5+9\xi^3+4\xi^2+2 \xi +1$$

$$F^6(\xi) = \xi$$

問題 09.1   $p=11$ のとき、 ${\mathbb{F}}_p$ 上の多項式 $X^6-a$ $(a\in {\mathbb{F}}_p)$ は既約になり得ないことを 示しなさい。

問題 09.2   $p=17$ のとき、 ${\mathbb{F}}_p$ 上の $6$ 次既約多項式の例を見つけ、 それが既約であることを示しなさい。