代数学 I 特論要約 NO.10

今日のテーマ

方程式系の合同ゼータ関数以下 p は素数であるとし、 q = p^{s} ( s は正の整数) であるとする。 n 個の変数 X_{1}, …, X_{n} に関する 𝔽_{q} 係数の多項式 f_{1}, f_{2}, …, f_{m} が

与えられているとき、方程式系

f_{1}(X_{1}, X_{2}, …, X_{n}) = 0,
f_{2}(X_{1}, X_{2}, …, X_{n}) = 0,
f_{3}(X_{1}, X_{2}, …, X_{n}) = 0,
…,
…,
f_{m}(X_{1}, X_{2}, …, X_{n}) = 0

を V (f_{1}, …, f_{m}) あるいは ( f_{1}, f_{2}, …, f_{m} がわかりきっている時には) V であらわす。 𝔽_{q^{r}} での V (f_{1}, …, f_{m}) の解の全体を V (f_{1}, …, f_{m})(𝔽_{q^{r}}) で書き表す。

定義 10.1. 方程式系 V の合同ゼータ関数を

Z(V, t) = exp (∑_{k=1}^{∞} \frac{#V (𝔽_{q^{k}})}{k}t^{k})

によって定義する。定義体 𝔽_{q} を明示したい時は、 Z(V/𝔽_{q}, t) などとも書く。

実際は右辺の級数は収束するのだが、ここでは収束性は気にせずに「形式的べき級数」として扱うことにする。

∑_{k=1}^{∞} \frac{t^{k}}{k} = − log(1 − t)

にも注意しておこう。

例 10.1. 2 個の変数 X, Y に関する方程式系 V = V (XY) に対して、 Z(V, t) = (1 − t)/(1 − qt)^{2} .

例 10.2. 2 個の変数 X, Y に関する方程式系 V = V (Y − X^{2}) に対して、 Z(V, t) = 1/(1 − qt)

例 10.3. 2 個の変数 X, Y に関する方程式系 V = V (Y X − 1) に対して、 Z(V, t) = (1 − t)/(1 − qt)

変数が一つのときは、次の命題によって合同ゼータ関数が求まる。

命題 10.1. f は 𝔽_{q} 上既約な一変数 d 次多項式であるとする。 1 個の変数 X に関する方程式 V = V (f(X)) について、

Z(V, t) = \frac{1}{1 − t^{d}}

が成り立つ。

f が既約でないときはどうか。次の問題を参照のこと。

問題 10.1. q は奇素数の巾であるとする。このとき 1 個の変数 X に関する方程式 V = V (X^{2} − 1) に対して、 Z(V/𝔽_{q}, t) を求めなさい。

問題 10.2. 1 個の変数 X に関する方程式 V = V (X^{3} + 1) に対して、 Z(V/𝔽_{5}, t) を求めなさい。