代数学I特論要約 No.10

今日のテーマ

以下 $p$ は素数であるとし、 $q=p^s$ ( $s$ は正の整数)であるとする。

$n$ 個の変数 $X_1,\dots,X_n$ に関する ${\mathbb{F}}_q$ 係数の 多項式 $f_1,f_2,\dots,f_m$ が与えられているとき、 方程式系

$$f_1(X_1,X_2,\dots,X_n)=0,$$

$$f_2(X_1,X_2,\dots,X_n)=0,$$

$$f_3(X_1,X_2,\dots,X_n)=0,$$

$$\dots ,$$

$$\dots ,$$

$$f_m(X_1,X_2,\dots,X_n)=0$$

を $V(f_1,\dots,f_m)$ あるいは ( $f_1,f_2,\dots,f_m$ がわかりきっている時には) $V$ であらわす。 ${\mathbb{F}}_{q^r}$ での $V(f_1,\dots,f_m)$ の解の全体を $V(f_1,\dots,f_m)({\mathbb{F}}_{q^r})$ で書き表す。

定義 10.1   方程式系 $V$ の合同ゼータ関数を

$$Z(V,t)= \exp \left ( \sum_{k=1}^\infty \frac{\char93 V({\mathbb{F}}_{q^k})}{k}t^k \right)$$

によって定義する。定義体 ${\mathbb{F}}_q$ を明示したい時は、 $Z(V/{\mathbb{F}}_q,t)$ などとも書く。

実際は右辺の級数は収束するのだが、 ここでは収束性は気にせずに「形式的べき級数」として扱うことにする。

$$\sum_{k=1}^\infty \frac{t^k}{k}=- \log(1-t)$$

にも注意しておこう。

例 10.1   2個の変数 $X,Y$ に関する方程式系 $V=V(XY)$ に対して、 $Z(V,t)=(1-t)/(1-qt)^2$ .

例 10.2   2個の変数 $X,Y$ に関する方程式系 $V=V(Y-X^2)$ に対して、 $Z(V,t)=1/(1-qt)$

例 10.3   2個の変数 $X,Y$ に関する方程式系 $V=V(YX-1)$ に対して、 $Z(V,t)=(1-t)/(1-qt)$

変数が一つのときは、次の命題によって合同ゼータ関数が求まる。

命題 10.1   $f$ は ${\mathbb{F}}_q$ 上既約な一変数 $d$ 次多項式であるとする。 1個の変数 $X$ に関する方程式 $V=V(f(X))$ について、

$$Z(V,t)=\frac{1}{1-t^d}$$

が成り立つ。

$f$ が既約でないときはどうか。次の問題を参照のこと。

問題 10.1   $q$ は奇素数の巾であるとする。このとき 1個の変数 $X$ に関する方程式 $V=V(X^2-1)$ に対して、 $Z(V/{\mathbb{F}}_q,t)$を求めなさい。

問題 10.2   1個の変数 $X$ に関する方程式 $V=V(X^3+1)$ に対して、 $Z(V/{\mathbb{F}}_5,t)$を求めなさい。