代数学 I 特論要約 NO.11

今日のテーマ

ゼータ関数の例、前回レポートの解答

命題 11.1. p は奇素数であるとし、 q = p^{s} ( s は正の整数) であるとする。 𝔽_{q} 上の二変数の方程式系 V = V (X^{2} + Y^{2} − 1) に対して、 Z(V/𝔽_{q}, t) は 𝔽_{q} のなかで −1 の平方根があるか否かによって二通りの答えがある。

Z(V/𝔽_{q}, t) = \begin{cases}\frac{1−t}{1−qt} & −1 が 𝔽_{q} の中で平方根をもつとき \\ \frac{1+t}{1−qt} & そうでないとき \end{cases}

No.9 のレポート問題の正答率がよくなかったので、解説をつける。

例題 11.1. p = 11 のとき、 𝔽_{p} 上の多項式 X^{6} − a (a ∈ 𝔽_{p}) は既約になり得ないことを示しなさい。

[解答]

11 個しか可能性がないから、個別に見てももちろんよい。が、もっと簡明なのは、写像

𝔽_{11} ∋ c → c^{3} ∈ 𝔽_{11}

が全射であることを用いることである。つまり、 a = c^{3} となる c が存在する。 X^{6} − c^{3} (c ∈ 𝔽_{11}) は、もちろん既約ではない。

例題 11.2. p = 17 のとき、 𝔽_{p} 上の 6 次既約多項式の例を見つけ、それが既約であることを示しなさい。

素朴にやるには膨大な計算が必要である。以下に mupad で計算するための program を書いておこう。

 Fp:=Dom::IntegerMod(17);          // Fp=Z/17 Z
 f:=poly(x^6-x-4,[x],Fp);          // 変数と係数を明示
 g:=poly(x^(17^2)-x,[x],Fp);
 h:=poly(x^(17^3)-x,[x],Fp);
 gcd (f,g);                        // f と g の GCD を求める。
 gcd(f,h);                         // f と h の GCD を求める。

膨大な計算をせずにすます方法はないか? 実はある。 𝔽_{17} 上の既約な 2 次式 a と 3 次式 b をとろう。 (これは諸君にも容易であろう。 ) ここでは、例えば a(X) = X^{2} − 3, b(X) = X^{3} − X − 2 とする。 a の根 α と b の根 β の和 γ を考える。 γ の満たすべき 6 次式は比較的容易に書き下せる。それが既約であることを言えばよい。すなわち、 𝔽_{17}(γ) が 𝔽_{17} の 6 次拡大であることを言えばよい。フロベニウス写像 F の言葉で言えば、これは F^{i}(γ) (i = 0, 1, 2, 3, 4, 5) が全て異なることを示すと言っても同じである。あとは F (α) = −α と、 F^{3}(β) = β とに注意すればよい。

問題 11.1. 二変数の方程式系 V (X^{2}−Y^{2}−1) の合同ゼータ関数 Z(V, t) を求めよ。