代数学 I 特論要約 NO.12

今日のテーマ復習 p は素数であるとする。このとき、

• 𝔽_{p} = ℤ/pℤ は元の個数が p の体である。 (定理 2.1)

• 各素数 p と正の数 r にたいして、元の個数が r の体 𝔽_{p^{r}} が存在する。 (定理 6.2)

• 𝔽_{p^{r}} は 𝔽_{p} 上の r 次既約多項式をもちいて構成できる。 (命題 4.1)

• p_{R} = 0 なる環 R (とくに、 𝔽_{p^{r}} にたいして、

R ∋ x → x^{p} ∈ R

なる環準同型 F が存在する。これをフロベニウス準同型と呼ぶ。 (命題 7.1)

• F^{r}(x) = x^{p^{r}} . 𝔽_{p^{r}} の元 x は F^{r}(x) = x をみたす。 (補題 5.1 とその系)

• 逆に、標数 p の体 K を任意にとったとき、

{x ∈ K; F^{r}(x) = x}

は K の部分体になり、 𝔽_{p^{r}} の部分体と同型になる。 (その意味で、 𝔽_{p^{r}} は、ちょうど F^{r}(x) = x をみたすような x の全体である)(補題 7.1)

𝔽_{q} 上の方程式系 V の合同ゼータ関数は

Z(V, t) = exp (∑_{k=1}^{∞} \frac{#V (𝔽_{q^{k}})}{k}t^{k})

によって定義されるのであった。ここに、 #V (𝔽_{q^{k}}) は V を 𝔽_{q^{k}} で考えたときの解の個数である。

問題 12.1. V = V (X^{2} +Y^{2} −Z^{2}) にたいして、 Z(V/𝔽_{q}, t) をもとめよ。