代数学 I 特論要約 NO.13

今日のテーマ

平面二次曲線の合同ゼータ関数 X, Y に関する 𝔽_{q} 上の二次式 f(X, Y) をきめることにより、 𝔽_{q} 上

の方程式 V (f) がさだまる。幾つかの例についてその合同ゼータ関数を求めよう。

I. 放物線 V (Y − X^{2})

Z(V, t) = Z(𝔸^{1}, t) = \frac{1}{1 − qt}

II. 双曲線 V (XY − 1)

Z(V, t) = Z(𝔸^{1}, t)/Z(𝔸^{0}, t) = \frac{1 − t}{1 − qt}

III. (楕) 円 V (X^{2} + Y^{2} − 1)

Z(V/𝔽_{q}, t) = \begin{cases}\frac{1−t}{1−qt} & (−1 が 𝔽_{q} の中で平方根をもつとき) \\ \frac{1+t}{1−qt} & (そうでないとき) \end{cases}

3 つには共通点がないだろうか。実は平面に「無限遠点」を付け加えるとこれらが統一的に眺められるようになる。

一般に、 d 次式 f(X, Y) に対して、 f_{h}(X, Y, Z) = Z^{d}(X/Z, Y/Z) を f の斉次化と呼ぶ。集合 V (f_{h})(𝔽_{q}) に、次のようなクラス分けを導入する。

(x_{0}, y_{0}, z_{0}) ∼ (x_{1}, y_{1}, z_{1}) ⇔ ( \begin{matrix}λ(x_{0}, y_{0}, z_{0}) = (x_{1}, y_{1}, z_{1}) なる \\ λ ∈ 𝔽_{q}^{×} が存在する。 \end{matrix} )

V (f_{h})(𝔽_{q})\{(0, 0, 0)} をこのクラス分けで分けたクラスの全体をV_{h}(f_{h})(𝔽_{q}) とかく。 V_{h}(f_{h})(𝔽_{q}) は、 V (f)(𝔽_{q}) に、「無限遠点」を付け加えたものである。

定義 13.1. 斉次方程式 V_{h}(f_{h}) の合同ゼータ関数 Z(V_{h}(f_{h}), t) を

Z(V_{h}(f_{h}), t) = exp (∑_{k=1}^{∞} \frac{#V_{h}(f_{h})(𝔽_{q^{k}})}{k}t^{k})

で定義する。

問題 13.1. f = XY − 1 について、その斉次化 f_{h}(X, Y, Z) と、合同ゼータ関数 Z(V_{h}(f_{h}), t) を求めよ。