代数学I特論要約 No.13

今日のテーマ

$X,Y$ に関する ${\mathbb{F}}_q$ 上の二次式 $f(X,Y)$ をきめることにより、 ${\mathbb{F}}_q$ 上の方程式 $V(f)$ がさだまる。 幾つかの例についてその合同ゼータ関数を求めよう。

I. 放物線 $V(Y-X^2)$

$$Z(V,t)=Z({\mathbb{A}}^1,t)=\frac{1}{1-qt}$$

II. 双曲線 $V(X Y-1)$

$$Z(V,t)=Z({\mathbb{A}}^1,t)/Z({\mathbb{A}}^0,t)=\frac{1-t}{1-qt}$$

III. (楕)円 $V(X^2+ Y^2-1)$

$$% latex2html id marker 767Z(V/{\mathbb{F}}_q,t)= \begin{ca... ...き)}\\ \frac{1+t}{1-q t} & \text{(そうでないとき)} \end{cases}$$

3つには共通点がないだろうか。 実は平面に「無限遠点」を付け加えるとこれらが統一的に眺められるようになる。

一般に、$d$ 次式 $f(X,Y)$ に対して、 $f_h(X,Y,Z)=Z^d(X/Z,Y/Z)$ を $f$ の 斉次化と呼ぶ。集合 $V(f_h)({\mathbb{F}}_q)$ に、次のようなクラス分けを導入する。

$$% latex2html id marker 779 (x_0,y_0,z_0)\sim (x_1,y_1,z_1) \q... ...{\mathbb{F}}_q^\times \text{ が存在する。 } \end{aligned}\right)$$

$V(f_h)({\mathbb{F}}_q)\setminus\{(0,0,0)\}$ をこのクラス分けで分けたクラスの全体を $V_h(f_h)({\mathbb{F}}_q)$ とかく。 $V_h(f_h)({\mathbb{F}}_q)$ は、 $V(f)({\mathbb{F}}_q)$ に、「無限遠点」を付け加えたものである。

定義 13.1   斉次方程式 $V_h(f_h)$ の合同ゼータ関数 $Z(V_h(f_h),t)$ を

$$Z(V_h(f_h),t)= \exp \left ( \sum_{k=1}^\infty \frac{\char93 V_h(f_h)({\mathbb{F}}_{q^k})}{k}t^k \right)$$

で定義する。

問題 13.1   $f=XY-1$ について、その斉次化 $f_h(X,Y,Z)$ と、合同ゼータ関数 $Z(V_h(f_h),t)$ を求めよ。