代数学 I 特論要約 NO.14

今日のテーマ

射影二次曲線の合同ゼータ関数今回は q は奇素数の巾であるとする。射影二次曲線の合同ゼータ関数を求めよう。 X, Y の二次式の斉次化

を考えるところからはじめても良いが、最初から二次斉次式を考える方が楽なので、そうする。

補題 14.1. 𝔽_{q} 上の二次斉次式 f(X, Y, Z) にたいして、ある 3 次の正方対称行列 A ∈ M_{3}(𝔽_{q}) が存在して、

f(X, Y, Z) = (XY Z)A (\begin{matrix}X \\ Y \\ Z \end{matrix})

がなりたつ。

定義 14.1. f が非退化であるとは、上の補題で f に対応する A に対して、 det(A) ≠ 0 のときにいう。

E = 𝔽_{q}^{3} の上基底をうまく取り換える (⇔ 座標変換をうまくとる) ことにより、 V_{h}(f) の点を上手に求めることを考えよう。次の (一見何でもない) 命題が鍵になる。

命題 14.1. E の元 v ≠ 0 で、^{t}vAv = 0 を満たすものが存在する。

命題 14.2. E の基底 {u_{1}, u_{2}, u_{3}} で、次のような性質を満たすものが存在する。

(1) ^{t}u_{1}Au_{1} = 0.

(2) ^{t}u_{2}Au_{1} = 0.

(3) ^{t}u_{3}Au_{1} = 1.

E の基底を基本ベクトルから {u_{1}, u_{2}, u_{3}} に換えることにより方程式は

2XZ + aY^{2} + 2bY Z + cZ^{2}

に置き換わる。 (さらに座標変換をすれば a = 1, b = 0, c = 0 に帰着することもできる。 )

この方程式の解の全体はすぐに書き下すことができて、

定理 14.3. 𝔽_{q} 上の非退化斉次二次式 f に対して、 V_{h} = V_{h}(f) の合同ゼータ関数は

Z(V_{h}, t) = \frac{1}{(1 − qt)(1 − t)}

になる。 (もっと強く、 V_{h}(f) は全て互いに同型である。 )

(今回はレポート問題はありません。来週は試験。 )