documentclass[12pt]amsart usepackageeucal,amssymb par newedtheoremtheorem定理[section]newedtheoremnitheoremあまり重要でない定理[section]renewedcommandthenitheorem newedtheoremrefpropPropositionrenewedcommandtherefprop newedtheoremcorollary系[section]newedtheoremlemma補題[section]newedtheoremfact事実[section]newedtheoremproposition[theorem]命題newedtheoremaxAxiompar theoremstyledefinition newedtheoremdfn定義[section] newedtheoremexmp例[section] newedtheoremexample例[section]newedtheoremdefinition定義[section] newedtheoremq問題[section] newedtheoremexq例題[section] newedtheoremkeywd数学のキーワードpar theoremstyleremark newedtheoremrem注意[section]newedtheoremclaim[]renewedcommandtheclaim par numberwithinequationsection par newedcommandtheoremref[1]Theorem ref#1 newedcommandsecref[1]Sref#1 newedcommandlemref[1]Lemma ref#1 par newedcommandZmbox ${mathbb {Z}}$ newedcommandQmbox ${mathbb {Q}}$ newedcommandRmbox ${mathbb {R}}$ newedcommandNmbox ${mathbb {N}}$ newedcommandImbox ${sqrt {-1}}$ par newedcommandLeg[2]mbox newedcommandFpmbox ${mathbb F}_p$ newedcommandkpekembox$k^times$ newedcommandbigzerolsmashhboxhuge 0 newedcommandbigzerousmashlower1.7exhboxhuge 0 par begindocument title[代数学II 要約 No.thistime ]代数学II 要約 No.thistime par quad vskip -3pc maketitle par setcountersectionthistime par 今日のテーマ par fbox部分群、剰余群、剰余集合、ラグランジュの定理 par 今回から数回に渡って、復習の意味もこめて群論の初歩をたどってみよう。 但し足取りはかなり早い。代数Cや 代数I の段階では扱わなかった かも知れない複雑な例も扱う場合があるから、注意すること。 par まず、先週講義では触れたが要約には書かなかったので、群の定義を 書いておく。 begintheorem_type[definition][definition][section][definition][][] $(G,circ)$ が群であるとは、 beginenumerate setcounterenumi-1 renewedcommandlabelenumi(群arabicenumi) item 演算 $circ :Gtimes G to G$ は写像である。つまり、 $G$ の元二つの組 $(g_1,g_2)$ に対して $G$ の元 $g_1 circ g_2$ が 定まる。 item $G$ の演算 $circ$ は結合律をみたす。 item $G$ には単位元が存在する。 item $G$ の各元には逆元が存在する。 endenumerate の条件が満たされるときにいう。endtheorem_type (演算 $circ$ が何であるか話の流れから了解済みのときには、$circ$ を 書かずに単に $G$ のことを群と呼ぶことも多い。) 群 $G$ の元の個数のことを群の位数と呼び、$\vert G\vert$ で書き表す。 par 群が与えられると、その部分群がどのようなものかを考えるのは 基本的である。部分群の定義は簡単で、 par begintheorem_type[definition][definition][section][definition][][] 群 $(G,circ)$ の部分群とは、$G$ の部分集合 $H$ であって、 $G$ の演算 $circ$ を制限することにより $H$ 自身が群になっている ときにいう。endtheorem_type par さて、群 $G$ とその部分群 $H$ が定まったとき、剰余集合 $G/H$ が 定義される。それは $G$ の「クラス分け」によって定まる。 par begintheorem_type[definition][definition][section][definition][][] $G$ の部分群 $H$ が与えられているとき、$G$ のクラス分けが次のように定まる。 vskip baselineskip noindent $g_1$ と $g_2$ が同じクラス $iff$ $g_1=g_2 h$ となる $hin H$ が存在する。 vskip baselineskip beginenumerate item このクラス分けによる $x$ のクラスを $x$ の $H$ に関する左剰余類と呼ぶ。 item このクラス分けによるクラスの全体の集合を $G/H$ と書き、 $G$ の $H$ による左剰余集合と呼ぶ endenumerate parendtheorem_type newpage par begintheorem_type[theorem][theorem][section][][][] beginenumerate item $x$ の $H$ による左剰余類の全体は

$$x H =\{ x h ; hin H \}$$

と等しい。 item $G$ が有限群のとき、

$$\vert G\vert=\vert H\vert times \char93 (G/H)$$

(但し、$\char93 (G/H)$ は集合 $G/H$ の元の個数) item とくに、$G$ が有限群ならば、$G$ の部分群 $H$ の位数(元の個数) $\vert H\vert$ は かならず $\vert G\vert$ の約数である。(ラグランジュの定理) endenumerate parendtheorem_type ラグランジュの定理(と、その特殊な場合として次回に扱うフェルマーの小定理)は、 位数が群にとって重要であることをしめす最初の例であろう。 par begintheorem_type[q][q][section][definition][][] 群 $G=mathfrak S_4$ の元 $a$ を $a=(1 2 3 4)$ で定め、

$$H=\{ (1), a, a^2,a^3\}$$

とおく。このとき $G$ の $H$ によるクラス分けの表を実際に書きなさい。endtheorem_type par begintheorem_type[q][q][section][definition][][] 群 $mathfrak S_4$ の部分群 $K$ で、位数が $4$ 以上 $8$ 以下のもの の例 (但し前問の $H$ は当然除く) を一つ見つけだし、その $K$ に対して $G$ の $K$ による クラス分けの表を実際に書きなさい。endtheorem_type par enddocument