代数学 II 要約 NO.3

今日のテーマ

準同型、準同型定理と正規部分群一般に、写像 S_{1} → S_{2} があればそれによって S_{1} のクラスわけが定

義される。群の場合には群の構造を尊重した群準同型写像を考えるのがよい。今回は、群の演算を表すのに ∘ を用いる。

定義 3.1. 群 G_{1} から群 G_{2} への写像 φ が群準同型写像であるとは、 φ が演算を保つ。すなわち、

φ(x ∘ y) = φ(x) ∘ φ(y)

がすべての x, y ∈ G_{1} について成立するときにいう。全単射群準同型のことを同型とよぶ。

補題 3.1. 群準同型 φ : G_{1} → G_{2} が与えられたとき、 φ は単位元、逆元を保つ。

命題 3.1. 群準同型 φ : G_{1} → G_{2} が与えられたとき、 (1) G_{1} には次のようなクラス分けが定義できる。

x と y が同じクラス ⇔ ϕ(x) = ϕ(y)

(2) N = φ^{−1}(0) は G_{1} の部分群であって、上のクラス分けは N による G_{1} のクラス分け (定義 2.3) と一致する。 (N のことを φ の核とよび、 Ker(φ) で書き表す。 )

群の準同型 φ : G_{1} → G_{2} の核は単に G_{1} の部分群であるというだけではなく、特別な性質をもっている。

定義 3.2. 群 G の部分群 H が G の正規部分群であるとは、任意の x ∈ G と任意の h ∈ H に対して hx の G/H でのクラスが x のクラスに等しいとき、言い換えれば、ある h′ ∈ H があって、 hx = xh′ がなりたつときにいう。

命題 3.2. 群 G の正規部分群 N があたえられたとき、 G/N に群の構造が、演算を

[x] ∘ [y] = [x ∘ y]

([?] は ? の G/H でのクラス) により定めることができる。 G/N はこの演算について群をなす。

定理 3.3 (群の準同型定理). 群準同型 φ : G_{1} → G_{2} が与えられたとき、 (1) φ の核は G_{1} の正規部分群である。

(2) φ の像 Image(φ) は G_{2} の部分群である。

(3) φ は G/ Ker(φ) と Image(φ) との間の同型を引き起こす。例 3.1. 𝔖_{n} から ℂ^{×} への写像 φ を

φ(σ) = sgn(σ) σ の符号

で定義すると、 φ は群の準同型になる。 Ker(φ) = 𝔄_{n}, Image(φ) = {±1}.

問題 3.1. 群 G = 𝔖_{4} の元のうち、 1 を動かさないようなものの全体を H とおく。すなわち

H = {(1), (2 3), (2 4), (3 4), (2 3 4), (2 4 3)}

とおく。このとき G の H によるクラス分けの表を実際に書き、つぎに G/H に演算を

[x][y] = [xy] (x, y ∈ G)

([?] は ? の G/H でのクラス。 ) で定めようとしてもこれはうまく定義されないことを示しなさい。すなわち、 [x_{1}] = [x_{2}] かつ [y_{1}] = [y_{2}] であるにもかかわらず、 [x_{1}y_{1}] ≠ [x_{2}y_{2}] であるような x_{1}, x_{2}, y_{1}, y_{2} ∈ G の例を挙げなさい。

問題 3.2. 群 𝔄_{4} の正規部分群 K で、自明でないもの (つまり、 {(1)} でも 𝔄_{4} でもないものの例を挙げよ。