代数学II 要約 No.3

今日のテーマ

一般に、写像 $S_1\to S_2$ があればそれによって $S_1$ のクラスわけが定義される。 群の場合には群の構造を尊重した 群準同型写像を考えるのがよい。 今回は、群の演算を表すのに $\circ$ を用いる。

定義 3.1   群 $G_1$ から群 $G_2$ への写像 $\varphi$ が群準同型写像であるとは、 $\varphi$ が演算を保つ。すなわち、

$$\varphi( x \circ y)= \varphi(x) \circ \varphi(y)$$

がすべての $x,y\in G_1$ について成立するときにいう。 全単射群準同型のことを同型とよぶ。

補題 3.1   群準同型 $\varphi:G_1\to G_2$ が与えられたとき、 $\varphi$ は 単位元、逆元を保つ。

命題 3.1   群準同型 $\varphi:G_1\to G_2$ が与えられたとき、

1. $G_1$ には次のようなクラス分けが定義できる。 $x$ と $y$ が同じクラス ${\Leftrightarrow}$ $\phi(x)=\phi(y)$
2. $N=\varphi^{-1}(0)$ は $G_1$ の部分群であって、上のクラス分けは $N$ による $G_1$ のクラス分け(定義3.4)と一致する。 ($N$ のことを $\varphi$ の核とよび、 $\operatorname{Ker}(\varphi)$ で書き表す。)

群の準同型 $\varphi:G_1\to G_2$ の核は単に $G_1$ の部分群である というだけではなく、特別な性質をもっている。

定義 3.2   群 $G$ の部分群 $H$ が $G$ の正規部分群であるとは、 任意の $x \in G$ と 任意の $h \in H$ に対して $h x$ の $G/H$ でのクラスが $x$ のクラスに等しいとき、 言い換えれば、ある $h'\in H$ があって、$hx=xh'$ がなりたつときにいう。

命題 3.2   群 $G$ の正規部分群 $N$ があたえられたとき、$G/N$ に 群の構造が、演算を

$$[x]\circ [y] =[x\circ y]$$

($[?]$ は $?$ の $G/H$ でのクラス)により定めることができる。 $G/N$ はこの演算について群をなす。

定理 3.3 (群の準同型定理)   群準同型 $\varphi:G_1\to G_2$ が与えられたとき、

1. $\varphi$ の核は $G_1$ の正規部分群である。
2. $\varphi$ の像 $\operatorname{Image}(\varphi)$ は $G_2$ の部分群である。
3. $\varphi$ は $G/\operatorname{Ker}(\varphi)$ と $\operatorname{Image}(\varphi)$ との間の同型を 引き起こす。

例 3.1   $\mathfrak{S}_n$ から ${\mathbb{C}}^{\times}$ への写像 $\varphi$ を

$$\varphi(\sigma)=\operatorname{sgn}(\sigma)$$    $&sigma#sigma;$ の 符号

で定義すると、$\varphi$ は群の準同型になる。 $\operatorname{Ker}(\varphi)=\mathfrak{A}_n$, $\operatorname{Image}(\varphi)=\{\pm 1\}$.

問題 3.1   群 $G=\mathfrak{S}_4$ の元のうち、$1$ を動かさないようなものの全体を $H$ とおく。 すなわち

$$H=\{ (1), (2\ 3),(2\ 4),(3\ 4),(2\ 3\ 4),(2\ 4\ 3)\}$$

とおく。このとき $G$ の $H$ によるクラス分けの表を実際に書き、つぎに $G/H$ に演算を

$$[x ] [ y ]=[x y] \qquad (x,y \in G)$$

($[?]$ は $?$ の $G/H$ でのクラス。) で定めようとしてもこれはうまく定義されないことを示しなさい。 すなわち、 $[x_1]=[x_2]$ かつ $[y_1]=[y_2]$ であるにもかかわらず、 $[x_1 y_1] \neq [x_2 y_2]$ であるような $x_1,x_2,y_1,y_2\in G$ の例を挙げなさい。

問題 3.2   群 $\mathfrak{A}_4$ の正規部分群 $K$ で、自明でないもの(つまり、$\{(1)\}$ でも $\mathfrak{A}_4$ でもないものの例を挙げよ。