代数学II 要約 No.6

今日のテーマ

定義 6.1   群 $G$ が与えられているとする。 $G$ の元 $z$ で、$G$ のどんな元とも可換なもの を $G$ の中心元とよぶ。$G$ の中心元の全体を $Z(G)$ と書いて $G$ の 中心と呼ぶ。

命題 6.1   どんな群 $G$ についても、群 $G$ の中心は $G$ の正規部分群である。

前回述べたように、中心元とは、それと共役なものが自分自身でないような 元のことと言っても良い。中心元以外はどんな様子になっているだろうか。

命題 6.2   群 $G$ と、その元 $g$ が与えられているとする。そのとき、

1. $$H_g=\{x \in G; x g x^{-1} =g\}$$
   は $G$ の部分群をなす。($g$ の中心化群と呼ばれる。)
2. $G/H_g$ の元と、$g$ と共役な元とは一対一に対応する。
3. $g$ と共役な $G$ の元の全体を $X_g$ すると、
   $$\vert H_g\vert \times (\char93 X_g) =\vert G\vert$$
   が成り立つ。とくに、$\char93 X_g$ は $\vert G\vert$ の約数である。

定義 6.2   位数が素数 $p$ のべき乗 ($p^n$)であるような群のことを $p$-群と呼ぶ。

次の命題は類等式の応用である。

命題 6.3   $p$-群 $P$ の中心 $Z(P)$ の位数は必ず $p$ の倍数である。 とくに、$P$ には単位元 $e$ 以外の中心元が少なくとも一つは必ず存在する。

問題 6.1   群 $\mathfrak{S}_4$ の各タイプの元に対して、 その中心化群を書きなさい。

問題 6.2   群 $G$ の位数が素数 $p$ の二乗、すなわち、

$$\vert G\vert=p^2$$

のとき、$G$ は可換群であることを証明しなさい。