代数学 II 要約 NO.7

今日のテーマ

直積と半直積

定義 7.1. 群 G の部分群 H と K が与えられたとする。このとき G の部分集合 HK を

HK = {hk; h ∈ H, k ∈ K}

で定義する。

HK は一般には G の部分群とは限らない。が、 K が「よい」場合には話は別である。

命題 7.1. 群 G の部分群 H,K があって、 K がさらに G の正規部分群ならば、 HK は G の部分群になる。

定義 7.2. どんな群 G の部分群 H,K があって、 (1) K がさらに G の正規部分群、

(2) H ∩ K = {e}

(3) HK = G がなりたつとき、 G は H と K の半直積であると呼び、 G = H ⋉ K と書かれる。

H と K の両方が G の正規部分群のときはどうだろうか。

命題 7.2. 群 G の正規部分群 H, K が H ∩ K = {e} をみたすならば、任意の h ∈ H と任意の k ∈ K に対して、 hk = kh が成り立つ。

上の定義 ??において、とくに H も正規部分群のときに G は H と K の直積であると呼ばれる。

半直積の構造は比較的よく分かる。

定理 7.3. G = H ⋉ K のとき、 h ∈ H, k ∈ K にたいして、 hkh^{−1} = ^{h}k とかくと、^{h}k は K の元であり、

(1) ^{h}(k_{1}k_{2}) = ^{h}k_{1}^{h}k_{2} (h ∈ H, k_{1}, k_{2} ∈ K)

(2) ^{h_{1}h_{2}}k = ^{h_{1}}(^{h_{2}}k) (h_{1}, h_{2} ∈ H, k ∈ K) をみたす。逆に、群 H,K および上の二つの条件を満たす対応

Φ : H × K ∋ (h, k) → ^{h}k ∈ K

があれば、 H,K および Φ をつかって G を構成することができる。

問題 7.1. 群 G の部分群 H, K で、 HK が G の部分群にならないようなものの例を一つ挙げよ。 (理由も述べること)。