代数学II 要約 No.7

今日のテーマ

定義 7.1   群 $G$ の部分群 $H$ と $K$ が与えられたとする。このとき $G$ の部分集合 $HK$ を

$$HK=\{ h k ; h\in H,\quad k\in K\}$$

で定義する。

$HK$ は一般には $G$ の部分群とは限らない。が、$K$ が 「よい」場合には話は別である。

命題 7.1   群 $G$ の部分群 $H$,$K$ があって、$K$ がさらに $G$ の正規部分群ならば、 $HK$ は $G$ の部分群になる。

定義 7.2   どんな群 $G$ の部分群 $H$,$K$ があって、

1. $K$ がさらに $G$ の正規部分群、
2. $H\cap K=\{e\}$
3. $H K =G$

がなりたつとき、 $G$ は $H$ と $K$ の半直積であると呼び、 $G=H \ltimes K$ と書かれる。

$H$ と $K$ の両方が $G$ の正規部分群のときはどうだろうか。

命題 7.2   群 $G$ の正規部分群 $H,K$ が $H\cap K=\{e\}$ をみたすならば、 任意の $h\in H$ と任意の $k\in K$ に対して、 $h k=k h$ が成り立つ。

上の定義 において、とくに $H$ も正規部分群のときに $G$ は $H$ と $K$ の直積であると呼ばれる。

半直積の構造は比較的よく分かる。

定理 7.3   $G=H \ltimes K$ のとき、 $h\in H, k\in K$ にたいして、 $h k h^{-1} = {}^h k$ とかくと、 ${}^h k$ は $K$ の元であり、

1. ${}^h(k_1 k_2)= {}^h k_1{}^h k_2 \qquad(h \in H, k_1,k_2 \in K)$
2. ${}^{h_1 h_2}k= {}^{h_1}({}^{h_2} k) \qquad(h_1,h_2 \in H, k \in K)$

をみたす。逆に、群 $H$,$K$ および 上の二つの条件を満たす対応

$$\Phi:H\times K \ni (h,k)\to {}^h k \in K$$

があれば、 $H$,$K$ および $\Phi$ をつかって $G$ を構成することができる。

問題 7.1   群 $G$ の部分群 $H,K$ で、 $HK$ が $G$ の部分群にならないようなものの 例を一つ挙げよ。(理由も述べること)。