代数学 II 要約 NO.8

今日のテーマ

二つの巡回群の半直積

命題 8.1. 二面体群

𝔇_{n} = ⟨a, ba^{n} = e, b^{2} = e, bab^{−1}⟩

は C_{2} と C_{n} との半直積である。すなわち、

𝔇_{n} = C_{2} ⋉ C_{n}

がなりたつ。

このようなタイプの群は他にどのぐらいあるのだろうか。

定義 8.1. 一般に、群 G から G への同型の全体はそれ自身写像の合成を演算として群をなす。これを G の自己同型群と呼び、 Aut(G) で書き表す。

次の命題は前回の定理の整理 (言い換え) である。

命題 8.2. G = H ⋉K の「ひねり」を考える。 h ∈ H を一つ固定して、

K ∋ k ↦ ^{h}k = hkh^{−1} ∈ K

なる写像を考えると、 (これは K が G の正規部分群だからうまく定義されて、 )

(1) この写像は K から K への群自己同型すなわち Aut(K) の元になる。これを ψ_{k} とかく。

(2) Ψ : H → Aut(K) を Ψ(k) = ψ_{k} で定義すると、 Ψ は群準同型である。

逆に、群 H, K および H から Aut(K) への群準同型 Ψ が一つ与えられると、それらのデータから G を構成することができる。すなわち、 G は、直積 H × K に次の乗法を導入したもの H ⋉_{Ψ} K と同型である。

(h_{1}, k_{1}) ∘ (h_{2}, k_{2}) = h_{1}h_{2}Ψ(h_{2}^{−1})(k_{1})k_{2}

上のように整理しておくと、 K が巡回群であるような半直積 G = H × K を構成する問題は、 C_{n} の群自己同型がどの程度あるかという問題に帰着される。

定理 8.3. (1) ℤ から群 G への群準同型の全体は、 G の元の全体と

一対一に対応する。

(2) C_{n} から群 G への群準同型の全体は、

{g ∈ G; g^{n} = e}

の元 (つまり、位数が n の約数であるような G の元) と一対一に対応する。

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(3) C_{n} から群 G への群としての同型の全体は、 G の位数 n の元

の全体と一対一に対応する。系 8.1. Aut(C_{n}) ≅ (ℤ/nℤ)^{×} = ( n と互いに素な数の ℤ/nℤ におけるクラスの全体のなす乗法群) 系 8.2. m, n が与えられたとき、半直積 G = C_{m} ⋉ C_{n} を与えるような「ひねり」を与えることは、

{x ∈ ℤ/nℤ; x^{m} = 1}

の元を一つ与えることと同じである。そして、そのような元 x を与えると、 G の生成元と関係式による表示が、

⟨b, a; b^{m} = e, a^{n} = e, bab^{−1} = a^{x}⟩

で与えられる。問題 8.1.

G_{1} = ⟨a, b; a^{7} = e, b^{3} = e, bab^{−1} = a^{4}⟩

の類等式を書き下しなさい。問題 8.2. 前問の G_{1} と、

G_{2} = ⟨a, b; a^{7} = e, b^{3} = e, bab^{−1} = a^{2}⟩

は同型だろうか。理由を述べて答えなさい。 (かなり難問である。 )