代数学 II 要約 NO.9

今日のテーマ

シローの定理一般に、有限群 G の部分群 H が与えられたとき、 H の位数は G の

位数の約数であった。 (ラグランジュの定理)

この逆は正しくない。つまり、 G の位数の約数が与えられても、 G の部分群で、ちょうどその位数のものがあるとは、一般には限らない。しかし、特殊な場合に限っては大丈夫なことがある。

補題 9.1. p-群 P の位数 p^{a} の任意の約数 p^{b} (b ≤ a) にたいして、 P の部分群 P_{1} で、位数がちょうど p^{b} であるものが存在する。

定理 9.1 (シローの定理 ). G の位数が p^{a}m (p は素数、 m と p とは互いに素) であるとき、

(1) 位数 p^{a} の G の部分群が存在する。 (これを G の p-シロー群と呼ぶ)

(2) G の p シロー群の個数を n とすると、 n−1 は p で割り切れる。 (3) G の p-シロー群の一つを P とする。 G の部分群 P_{1} の位数

が、 p^{a} の約数である (すなわち、 P_{1} はそれ自体 p-群であるとすると、

xP_{1}x^{−1} ⊂ P

なる x ∈ G が存在する。

(4) G の p-シロー群はどれも互いに共役である。

系 9.1. G の位数が p^{a}m (p は素数、 m と p とは互いに素) であるとき、任意の自然数 b ≤ a に対して、位数 p^{b} の G の部分群が存在する。

問題 9.1. 𝔖_{5} の 2-シロー群、 3-シロー群の例をそれぞれ一つづつ挙げなさい。