代数学II 要約 No.9

今日のテーマ

一般に、有限群 $G$ の部分群 $H$ が与えられたとき、$H$ の位数は $G$ の位数の約数であった。(ラグランジュの定理)

この逆は正しくない。つまり、 $G$ の位数の約数が与えられても、$G$ の部分群で、ちょうどその位数の ものがあるとは、一般には限らない。しかし、特殊な場合に限っては 大丈夫なことがある。

補題 9.1   $p$-群 $P$ の位数 $p^a$ の任意の約数 $p^b$ ($b\leq a$) にたいして、 $P$ の部分群 $P_1$ で、位数がちょうど $p^b$ であるものが存在する。

定理 9.1 (シローの定理 )   $G$ の位数が $p^a m$ ($p$ は素数、$m$ と $p$ とは互いに素)であるとき、

1. 位数 $p^a$ の $G$ の部分群が存在する。 (これを $G$ の $p$-シロー群と呼ぶ)
2. $G$ の $p$ シロー群の個数を $n$ とすると、$n-1$ は $p$ で割り切れる。
3. $G$ の $p$-シロー群の一つを $P$ とする。 $G$ の部分群 $P_1$ の 位数が、 $p^a$ の約数である(すなわち、$P_1$ はそれ自体 $p$-群である とすると、
   $$x P_1 x^{-1} \subset P$$
   なる $x\in G$ が存在する。
4. $G$ の $p$-シロー群はどれも互いに共役である。

系 9.1   $G$ の位数が $p^a m$ ($p$ は素数、$m$ と $p$ とは互いに素)であるとき、 任意の自然数 $b\leq a$ に対して、 位数 $p^b$ の $G$ の部分群が存在する。

問題 9.1   $\mathfrak{S}_5$ の $2$-シロー群、 $3$-シロー群の例をそれぞれ一つづつ挙げなさい。