代数学 II 要約 NO.10

今日のテーマシローの定理 (2)

定理 10.1 (シローの定理 ). G の位数が p^{a}m (p は素数、 m と p とは互いに素) であるとき、

(1) 位数 p^{a} の G の部分群が存在する。 (これを G の p-シロー群と呼ぶ)

(2) G の p シロー群の個数を n とすると、 n−1 は p で割り切れる。 (3) G の p-シロー群の一つを P とする。 G の部分群 P_{1} の位数

が、 p^{a} の約数である (すなわち、 P_{1} はそれ自体 p-群であるとすると、

xP_{1}x^{−1} ⊂ P

なる x ∈ G が存在する。

(4) G の p-シロー群はどれも互いに共役である。

前回は、この定理の (1) の部分を証明したが、少し分かりにくかったかも知れぬ。

まず、定理の主張から説明しておこう。 G の位数 n を p で割れるだけ割って、 a 回で割れなくなったとする。例えば、 n = 12 で p = 2 なら、 n は p で 2 回割れて、 p^{a} = 4 という具合である。このとき、 G の部分群で、位数 p^{a} のものが存在するということである。

例 10.1.

• 位数 12 の群には位数 4 の部分群 (2-シロー群) と位数 3 の部分群 (3-シロー群) が必ず存在する。

• 位数 360(= 2^{3} × 3^{2} × 5) の群には位数 8 の部分群 (2-シロー群) と位数 9 の部分群 (3-シロー群)、位数 5 の部分群が必ず存在する。

そのようなシロー群は、どのように見つければよいのか、これが前回の証明であって、

(1) もし G の部分群 G′ で、 G より真に小さく、なおかつ |G′| が p^{a} の倍数であるようなものを見つけることができれば、話の対象を G から G′ に移すことができる。 (G′ の部分群は G の部分群でもあるからである。 )

(2) G の部分群 G′ の例としては、 G のいろいろな元 g に対する中心化群 H_{g} を考えることができる。 g をいろいろとることで、かなりの確率でそのような G′ を見つけることができるだろう。

(3) もし不幸にもそのようなものが一つもなかったとするしよう。このときは類等式を利用して、 G の中心 Z(G) は p の倍数でなければならないことが分かる。ところが G の中心が大きければ、 Z(G) の部分群 Z を適当にとってそれで剰余群を作ることにより G/Z と Z の二つに話を分けてやはり話を位数が |G| より小さな群に帰着させることができるのである。

最後の部分は、具体的には次のような補題を証明すればよい。

補題 10.1.

(1) 可換群 Z の位数が素数 p で割れるならば、 Z の元 z で、位数がちょうど p のものが存在する。

(2) 群 G の中心 Z(G) の部分群 A は、必ず G の正規部分群である。

問題 10.1. 𝔖_{4} の 2-シロー群、 3-シロー群の個数はそれぞれいくらか。

問題 10.2. 𝔖_{5} の 2-シロー群、 3-シロー群、 5-シロー群の個数はそれぞれいくらか。