代数学II 要約 No.10

今日のテーマ

定理 10.1 (シローの定理 )   $G$ の位数が $p^a m$ ($p$ は素数、$m$ と $p$ とは互いに素)であるとき、

1. 位数 $p^a$ の $G$ の部分群が存在する。 (これを $G$ の $p$-シロー群と呼ぶ)
2. $G$ の $p$ シロー群の個数を $n$ とすると、$n-1$ は $p$ で割り切れる。
3. $G$ の $p$-シロー群の一つを $P$ とする。 $G$ の部分群 $P_1$ の 位数が、 $p^a$ の約数である(すなわち、$P_1$ はそれ自体 $p$-群である とすると、
   $$x P_1 x^{-1} \subset P$$
   なる $x\in G$ が存在する。
4. $G$ の $p$-シロー群はどれも互いに共役である。

前回は、この定理の(1)の部分を証明したが、少し分かりにくかったかも知れぬ。

まず、定理の主張から説明しておこう。 $G$ の位数 $n$ を $p$ で割れるだけ割って、$a$ 回で割れなくなったとする。 例えば、 $n=12$ で $p=2$ なら、$n$ は $p$ で $2$ 回割れて、$p^a=4$ という具合である。このとき、$G$ の部分群で、 位数 $p^a$ のものが存在するということである。

例 10.1  

• 位数 $12$ の群には 位数 $4$ の部分群 ($2$-シロー群)と 位数 $3$ の部分群 ($3$-シロー群)が必ず存在する。
• 位数 $360(=2^3\times 3^2 \times 5)$ の群には 位数 $8$ の部分群 ($2$-シロー群)と 位数 $9$ の部分群 ($3$-シロー群)、位数 $5$ の部分群が必ず存在する。

そのようなシロー群は、どのように見つければよいのか、これが前回の証明であって、

1. もし $G$ の部分群 $G'$ で、$G$ より真に小さく、なおかつ $\vert G'\vert$ が $p^a$ の倍数であるようなものを見つけることができれば、話の対象を $G$ から $G'$ に 移すことができる。($G'$ の部分群は $G$ の部分群でもあるからである。)
2. $G$ の部分群 $G'$ の例としては、$G$ のいろいろな元 $g$ に対する 中心化群 $H_g$ を 考えることができる。$g$ をいろいろとることで、 かなりの確率でそのような $G'$ を見つけることができるだろう。
3. もし不幸にもそのようなものが一つもなかったとするしよう。このときは 類等式を利用して、$G$ の中心 $Z(G)$ は $p$ の倍数で なければならないことが分かる。ところが $G$ の中心が大きければ、 $Z(G)$ の部分群 $Z$ を適当にとって それで剰余群を作ることにより $G/Z$ と $Z$ の二つに話を分けて やはり話を位数が $\vert G\vert$ より小さな群に帰着させることができるのである。

最後の部分は、具体的には次のような補題を証明すればよい。

補題 10.1  

1. 可換群 $Z$ の位数が素数 $p$ で割れるならば、 $Z$ の元 $z$ で、 位数がちょうど $p$ のものが存在する。
2. 群 $G$ の中心 $Z(G)$ の部分群 $A$は、必ず $G$ の正規部分群である。

問題 10.1   $\mathfrak{S}_4$ の 2-シロー群、 3-シロー群の個数はそれぞれいくらか。

問題 10.2   $\mathfrak{S}_5$ の 2-シロー群、 3-シロー群、5-シロー群の個数はそれぞれいくらか。