代数学 II 要約 NO.11

今日のテーマ

シローの定理の応用シローの定理をもちいると、例えば次の結果を証明できる。

命題 11.1. p, q は素数で、 p < q であるとする。このとき、位数が pq の群 G について、次のことが言える。

(1) G には位数 p の部分群 H と、位数 q の部分群 K が存在する。 (2) K は G の正規部分群である。

(3) G ≅ H ⋉ K である。

シローの定理とは違うが、次のことにも注意しておこう。

補題 11.1. 有限群 G の部分群 H が与えられたとき、

N_{G}(H) = {x ∈ G; xHx^{−1} = H}

は、 G の部分群であり、 N_{G}(H) ⊃ H である。 G の部分群で H と共役なものの個数 k は、 [G : N_{G}(H)] にひとしい。とくに、 k は [G : H] の約数である。

系 11.1. 有限群 G の位数が p^{a}m (m は p で割り切れない) であるとする。このとき、 G の p-シロー群の個数 k は m の約数である。

シローの定理により k −1 は p の倍数であることに注目すると、上のこととあわせて p-シロー群の数について強い制限がつくことが分かる。

次の二つの補題も位数が低い群を調べる際には有効である。

補題 11.2. 群 G の素数位数の部分群 P_{1}, P_{2} があるとき、 P_{1} = P_{2} または P_{1} ∩ P_{2} = {e} のどちらかが成り立つ。

補題 11.3. 有限群 G の位数 n が素数 p でただ一度だけ割れるとする。すなわち、し、 n = pm で、 m は p で割れないとする。 G の p-シロー群の個数を k 個とすると、 G の元で、位数が p のものはちょうど (p − 1)k 個である。

問題 11.1. 位数 2^{2} × 5 の群 G には必ず自明でない正規部分群 N が存在することを示しなさい。

問題 11.2. 位数 2^{2} × 3 の群 G の 3-シロー群か 2-シロー群のいずれかは正規部分群であることを示しなさい。 (どちらの場合も起こり得る。 )