代数学 II 要約 NO.12

今日のテーマ群の集合への作用と表現

定義 12.1. 群 G の集合 X への作用とは、次のような条件を満たす写像

G × X ∋ (g, x) → g.x ∈ X

のことである。 (1) (g_{1}g_{2}).x = g_{1}.(g_{2}.x) (∀g_{1}, g_{2} ∈ G, ∀x ∈ X).

(2) e.x = x (∀x ∈ X).

例 12.1. 群 G と、その部分群 H が与えられたとき、 G は G/H に

g.[x] = [gx]

により作用する。 ([x] は x ∈ G の G/H でのクラス).

例 12.2. 群 G の G への作用を次の三種類定義することができる。 (1) g.x = gx. (左作用)

(2) g.x = x(g^{−1}). (右作用)

(3) g.x = gxg^{−1}. (共役による作用).

例 12.3. 有限群 G が与えられているとき、 X = {G の部分群} への G の作用が

g.H = gHg^{−1}

により決められる。 X として、 G の p-シロー群の全体をとっても同様に作用が定義される。

補題 12.1. G が有限集合 X に作用しているとする。このとき G から 𝔖_{n} (n = #X ) への群準同型が定まる。

問題 12.1. G が位数 80 の群であるとき、 G の 2-シロー群の数は 1 か 5 であることを示し、 G には必ず正規部分群があることを示しなさい。