代数学II 要約 No.12

今日のテーマ

定義 12.1   群 $G$ の集合 $X$ への作用とは、次のような条件を満たす写像

$$G\times X \ni (g,x)\to g.x \in X$$

のことである。

1. $(g_1 g_2). x = g_1.(g_2. x)$ ( $\forall g_1,g_2\in G, \forall x \in X$).
2. $e.x=x$ ( $\forall x \in X$).

例 12.1   群 $G$ と、その部分群 $H$ が与えられたとき、$G$ は $G/H$ に

$$g. [ x ] =[ g x ]$$

により作用する。($[x]$ は $x\in G$ の $G/H$ でのクラス).

例 12.2   群 $G$ の $G$ への作用を次の三種類定義することができる。

1. $g. x=g x$. (左作用)
2. $g . x = x (g^{-1})$. (右作用)
3. $g. x = g x g^{-1}$. (共役による作用).

例 12.3   有限群 $G$ が与えられているとき、 $X=\{G$   の部分群 $\}$ への $G$ の作用が

$$g. H= g H g^{-1}$$

により決められる。$X$ として、 $G$ の $p$-シロー群の全体をとっても 同様に作用が定義される。

補題 12.1   $G$ が有限集合 $X$ に作用しているとする。このとき $G$ から $\mathfrak{S}_n$ ($n=\char93 X$ )への群準同型が定まる。

問題 12.1   $G$ が位数 $80$ の群であるとき、$G$の $2$-シロー群の数は $1$ か $5$ であることを示し、$G$ には必ず正規部分群があることを示しなさい。