代数学 II 要約 NO.13

今日のテーマ

補遺本講義では触れることができなかったが、有限アーベル群 (=有限可

換群) については、次のことが知られている。

定理 13.1. 有限アーベル群 A はかならず有限個の巡回群の直積と同型である。

この定理の証明はしないが、 A の各シロー群は必ず正規部分群であるから、 A は必ずシロー群の直積に分解する。すなわち、

A ≅ P_{1} × P_{2} × P_{3} × ⋯ × P_{n}

で、各 P_{i} は素数 p_{i} の巾 p_{i}^{e_{i}} を位数に持つようなアーベル群である。 P_{i} は

C_{p_{i}}^{t_{1}} × C_{p_{i}}^{t_{2}} × C_{p_{i}}^{t_{3}} × ⋯ × C_{p_{i}}^{tn}

という形に書ける、というところが定理の主張である。

例 13.1. 素数 p に対して位数 p^{2} の群は必ずアーベル群である。上の定理から、それは C_{p^{2}} か、または C_{p} × C_{p} のどちらかと同型であることが分かる。

今までに講義で出てきたことがらをうまく用いると、 100 以下程度の数 n が与えられたときに、位数 n の群を求めることがかなり容易になる。

以下、そのやり方の例を幾つか挙げよう。

命題 13.2. 群 G の位数が p^{2}q (p, q は相異なる素数) の群があるとする。このとき、

(1) p > q ならば、 G の p-シロー群は G の正規部分群である。 (2) p < q ならば、 p^{2}q = 12 のときを除いて G の q-シロー群は G

の正規部分群である。ゆえにいずれの場合も G は二つのアーベル群の半直積で書けることが分かる。

命題 13.3. 群 G の位数が 24 なら、 2 シロー群の数は 1 or 3 個。 (1) もし 1 個なら、 2 シロー群は G の正規部分群である。

(2) もし 3 個ならば、 G の、 2-シロー群の全体への作用を考えれば、 G から 𝔖_{3} への群準同型 ϕ が存在することがわかる。シローの定理とその証明から、 ϕ は全射であることがわかる。このとき ϕ の核の位数は 4 であるから、 G には位数 4 の正規部分群が存在する。

G に正規部分群 N が存在することがわかると、 G を調べるには N, G/N なる二つの群を先ず調べて、つぎにそれらから G がどのぐらい得られるか、という 2 ステップに分けられるので、話がずいぶんやさしくなる。それに対して、

定義 13.1. 群 G に {e} と G 以外の正規部分群がないとき、 G は単純群と呼ばれる。

例 13.2. 単純群の例

(1) 素数 p を位数に持つ巡回群は単純群である。 (これは例外的に簡単な単純群である。 )

(2) 一般に、 n ≥ 5 のとき、 𝔄_{n} は単純群であることが知られている。

(3) (さらに、有限単純群は完全に分類されて、どれだけあるか知られている。 )

実は、位数 100 までの範囲では、素数位数の巡回群ではない単純群は 𝔄_{5} だけである。次の問題は、位数 60 の単純群が 𝔄_{5} であることを証明するためのヒントである。

問題 13.1. 位数 60 の群 G が単純群であると仮定するとき、 G の 5-シロー群の数 k を求めよ。また、これにより G の 𝔖_{k} への群準同型 ϕ が得られるが、この ϕ は単射だろうか。理由を述べて答えなさい。

問題 13.2. 位数 pqr (p, q, r は素数、 p < q < r) の群 G には正規部分群であるようなシロー群が少なくとも一つ存在することを示しなさい。