代数学II 要約 No.13

今日のテーマ

本講義では触れることができなかったが、有限アーベル群(=有限可換群)については、 次のことが知られている。

定理 13.1   有限アーベル群 $A$ はかならず有限個の巡回群の直積と同型である。

この定理の証明はしないが、$A$ の各シロー群は必ず正規部分群であるから、 $A$ は必ずシロー群の直積に分解する。すなわち、

$$A \cong P_1 \times P_2\times P_3 \times \dots\times P_n$$

で、各 $P_i$ は素数 $p_i$ の巾 $p_i^{e_i}$ を位数に持つようなアーベル群である。 $P_i$ は

$$C_{{p_i}^{t_1}}\times C_{{p_i}^{t_2}}\times C_{{p_i}^{t_3}}\times \dots \times C_{{p_i}^{t_n}}$$

という形に書ける、というところが定理の主張である。

例 13.1   素数 $p$ に対して位数 $p^2$ の群は必ずアーベル群である。 上の定理から、それは $C_{p^2}$ か、または $C_{p}\times C_{p}$ の どちらかと同型であることが分かる。

今までに講義で出てきたことがらをうまく用いると、100以下程度の数 $n$ が 与えられたときに、位数 $n$ の群を求めることがかなり容易になる。

以下、そのやり方の例を幾つか挙げよう。

命題 13.2   群 $G$ の位数が $p^2 q$ ($p,q$ は相異なる素数) の群があるとする。このとき、

1. $p>q$ ならば、$G$ の $p$-シロー群は $G$ の正規部分群である。
2. $p<q$ ならば、$p^2q=12$ のときを除いて $G$ の $q$-シロー群は $G$ の正規部分群である。

ゆえにいずれの場合も $G$ は二つのアーベル群の半直積で 書けることが分かる。

命題 13.3   群 $G$ の位数が $24$ なら、$2$ シロー群の数は $1$ or $3$ 個。

1. もし $1$ 個なら、$2$ シロー群は $G$ の正規部分群である。
2. もし $3$ 個ならば、$G$ の、 $2$-シロー群の全体への作用を 考えれば、$G$ から $\mathfrak{S}_3$ への群準同型 $\phi$ が存在することがわかる。 シローの定理とその証明から、$\phi$ は全射であることがわかる。 このとき $\phi$ の核の位数は $4$ であるから、 $G$ には位数 $4$ の正規部分群が存在する。

$G$ に正規部分群 $N$ が存在することがわかると、$G$ を調べるには $N, G/N$ なる二つの群を先ず調べて、つぎにそれらから $G$ が どのぐらい得られるか、という2ステップに分けられるので、 話がずいぶんやさしくなる。それに対して、

定義 13.1   群 $G$ に $\{e\}$ と $G$ 以外の正規部分群がないとき、$G$ は 単純群と呼ばれる。

例 13.2   単純群の例

1. 素数 $p$ を位数に持つ巡回群は単純群である。(これは例外的に簡単な単純群である。)
2. 一般に、 $n\geq 5$ のとき、 $\mathfrak{A}_n$ は単純群であることが知られている。
3. (さらに、有限単純群は完全に分類されて、どれだけあるか知られている。)

実は、位数 100 までの範囲では、素数位数の巡回群ではない単純群は $\mathfrak{A}_5$ だけである。 次の問題は、 位数 $60$ の単純群が $\mathfrak{A}_5$ であることを証明するためのヒントである。

問題 13.1   位数 $60$ の群 $G$ が単純群であると仮定するとき、 $G$ の $5$-シロー群の数 $k$ を求めよ。また、これにより $G$ の $\mathfrak{S}_k$ への群準同型 $\phi$ が得られるが、この $\phi$ は単射だろうか。 理由を述べて答えなさい。

問題 13.2   位数 $p q r$ ($p,q,r$ は素数、 $p<q<r$) の群 $G$ には正規部分群であるような シロー群が少なくとも一つ存在することを示しなさい。