代数学 III 要約 NO.2

今日のテーマ

体に元を付け加えて新しい体を作る

定義 2.1. 体 L の部分集合 K が L の部分体であるとは、 K 自身が L の演算で体になっているときに言う。定義 2.2 (体に元を付け加えてできる\underline{体}). 体 L と、その部分体 K, および L の元 α が与えられているとする。このとき、 K と α とを含む L の部分体のうち最小のものを k(α) (\underline{丸括弧に注意}) と書き、 K に α を付け加えてできる体と呼ぶ。補題 2.1.

K(α) = \{\frac{a(α)}{b(α)}; a, b は K 係数の多項式\}

定義 2.3. 体 K は体 L の部分体であるとする。 α ∈ L が K 上代数方程式を満足するとき、 α は K 上代数的であると呼ぶ。命題 2.1. 体 K が体 L の部分体であって、 α ∈ L が K 上代数的であれば、 K(α) の任意の元は α の K 係数の多項式で書くことができる。

上の命題の証明はユークリッドの互除法を用いるのがもっとも普通であるが、ここではそれとほぼ等価な次の方法を採ろう。補題 2.2. K, L, α は上の補題の通りとし、 p は p(α) = 0 を満たすような K 係数の多項式であるとする。このとき、任意の K 係数の多項式 f, g に対して、次のことが成り立つ。

(1) g(X) を p(X) で割った商を a(X), 余りを b(X) とする。すな

わち、

g(X) = a(X)p(X) + b(X)

とすると、

\frac{f(α)}{g(α)} = \frac{f(α)}{b(α)}

(2) p(X) を g(X) で割った商を q(X), 余りを r(X) とする。すな

わち、

p(X) = q(X)g(X) + r(X)

とすると、

\frac{f(α)}{g(α)} = −\frac{f(α)q(α)}{r(α)}

問題 2.1. ζ ∈ ℂ は ζ^{5} = 1 を満たすような複素数であるとする。このとき、

\frac{1}{1 + ζ + ζ^{2}}

を ζ の有理数係数の多項式に直しなさい。