代数学III 要約 No.4

今日のテーマ

定義 4.1 (環の準同型の定義)   環の間の写像 $\phi:R\to S$ が準同型であるとは、 次の条件が成り立つときにいう。

1. $\phi(x+y)=\phi (x)+\phi(y)$ が任意の $x,y$ についてなりたつ。
2. $\phi(xy)=\phi(x)\phi(y)$ が任意の $x,y$ についてなりたつ。
3. $\phi(1_R)=1_S$ がなりたつ

単射準同型写像のことを中への同型、全単射準同形写像のことを 上への同型または単に同型とよぶ。

定理 4.1 (環の準同型定理)   環 $R$ から環 $S$ への準同型 $\phi$ に対して、

1. $\phi$ の核 $\operatorname{Ker}(\phi)$ は $R$ のイデアルである。
2. $\phi$ の像 $\operatorname{Image}(\phi)$ は $S$ の部分環である
3. $\phi$ は $R/\operatorname{Ker}(\phi)$ と $\operatorname{Image}(\phi)$ との間の 同型を誘導する。

準同型定理をつかうと、体をつくる二つの方法(No.3 と No.4)を比べることができる。 一つ言葉を用意しておく

定義 4.2   体 $K$ は体 $L$ の部分体であるとする。($K$ からみると、$L$ は $K$ の 拡大体であると呼ばれる。) $a\in L$ が $K$ 上の非自明な代数方程式 を満たすとき、$a$ は $L$ 上代数的であると言う。

定理 4.2   体 $K$ の拡大体 $L$ は $K$ 上一つの元 $a$ で 生成されているとする。さらに、$a$ は $K$ 上代数的であるとする。 このとき、 $a$ の最小多項式を $m(X)$ とすると、次のことがいえる。

1. $\varphi:K[X]\to L$ を $\varphi(p(X))=p(a)$ できめると、 $\varphi$ は全射環準同型である。
2. $\varphi$ の核は $m(X)k[X]$ である。

問題 4.1   $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$[X]$ の元 $f_1,f_2,f_3,f_4,f_5$ で、 $a=\sqrt{2}+\sqrt{3}$ にたいして $f_1(a)=f_2(a)=f_3(a)=f_4(a)=f_5(a)$ を 満たすようなものを見つけなさい。 例はいくらでもあるので他の人の解答とダブらないように注意すること。