代数学 III 要約 NO.5

今日のテーマ

環の準同型定理と体の自己同型 (2)

前回、次の定理の証明が残っていた。

定理 5.1. [再掲] 体 K の拡大体 L は K 上一つの元 a で生成されているとする。さらに、 a は K 上代数的であるとする。このとき、 a の最小多項式を m(X) とすると、次のことがいえる。

(1) φ : K[X] → L を φ(p(X)) = p(a) できめると、 φ は全射環準同型である。

(2) φ の核は m(X)k[X] である。

上の定理の証明のついでに、もう一つ大事な概念を追加しておこう。

定義 5.1. K の拡大体 L が与えられているとする。このとき、 L は K 上のベクトル空間とみなすことができて、そのようにみたときの L の K ベクトル空間としての次元を L の K 上の拡大次数と呼び、 [L : K] で書き表す。

命題 5.2. 上の定理 5.1 で、 L の K 上の拡大次数は m の多項式としての次数と等しい。

定理 5.1 を用いると、次のことが分かる。

定理 5.3. 体 K の拡大体 L_{1} と L_{2} があって、 L_{1} = K(a_{1}), L_{2} = K(a_{2}) をみたすような a_{1} ∈ L_{1} と a_{2} ∈ L_{2} があるとする。もし、 a_{1} と a_{2} の K 上の最小多項式が等しいならば、 L_{1} から L_{2} への環としての準同型写像 ϕ で、 ϕ|_{K} = id, かつ ϕ(a_{1}) = a_{2} を満たすものが唯一つ存在する。

上の定理の ϕ は一種の「共役をとる写像」 (No.1 参照) である。とくに L_{1} と L_{2} とが (たまたま) 等しいときが大事である。

定理 5.4. 体 K の拡大体 L があって、 L = K(a) をみたすような a ∈ L があるとする。 a の K 上の最小多項式を m(X) とおく。もし、 L の元 b が m(b) = 0 をみたすならば、が等しいならば、 L から L への環としての準同型写像 ϕ で、 ϕ|_{K} = id, かつ ϕ(a) = b を満たすものが唯一つ存在する。さらに、 ϕ は全単射にもなる。

問題 5.1. ℚ[X]/(X^{2} − 2)ℚ[X] と ℚ[Y]/((Y − 1)^{2} − 8)ℚ[Y] とは環として同型だろうか。 (理由も述べること。 )