代数学III 要約 No.5

今日のテーマ

前回、次の定理の証明が残っていた。

定理 5.1   [再掲] 体 $K$ の拡大体 $L$ は $K$ 上一つの元 $a$ で 生成されているとする。さらに、$a$ は $K$ 上代数的であるとする。 このとき、 $a$ の最小多項式を $m(X)$ とすると、次のことがいえる。

1. $\varphi:K[X]\to L$ を $\varphi(p(X))=p(a)$ できめると、 $\varphi$ は全射環準同型である。
2. $\varphi$ の核は $m(X)k[X]$ である。

上の定理の証明のついでに、もう一つ大事な概念を追加しておこう。

定義 5.1   $K$ の拡大体 $L$ が与えられているとする。このとき、$L$ は $K$ 上の ベクトル空間とみなすことができて、そのように みたときの $L$ の $K$ ベクトル空間としての次元を $L$ の $K$ 上の 拡大次数と呼び、$[L:K]$ で書き表す。

命題 5.2   上の定理 5.1で、 $L$ の $K$ 上の拡大次数は $m$ の多項式としての次数と等しい。

定理 5.1 を用いると、次のことが分かる。

定理 5.3   体 $K$ の拡大体 $L_1$ と $L_2$ があって、 $L_1=K(a_1)$, $L_2=K(a_2)$ をみたすような $a_1\in L_1$ と $a_2\in L_2$ があるとする。もし、$a_1$ と $a_2$ の $K$ 上の最小多項式が等しいならば、$L_1$ から $L_2$ への 環としての準同型写像 $\phi$ で、 $\phi\vert _K={\operatorname{id}}$, かつ $\phi(a_1)=a_2$ を 満たすものが唯一つ存在する。

上の定理の $\phi$ は一種の「共役をとる写像」(No.1 参照)である。 とくに $L_1$ と $L_2$ とが(たまたま)等しいときが大事である。

定理 5.4   体 $K$ の拡大体 $L$ があって、$L=K(a)$ をみたすような $a\in L$ があるとする。 $a$ の $K$ 上の最小多項式を $m(X)$ とおく。 もし、$L$ の元 $b$ が $m(b)=0$ をみたすならば、 が等しいならば、$L$ から $L$ への 環としての準同型写像 $\phi$ で、 $\phi\vert _K={\operatorname{id}}$, かつ $\phi(a)=b$ を 満たすものが唯一つ存在する。 さらに、$\phi$ は全単射にもなる。

問題 5.1   $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$[X]/(X^2-2)$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$[X]$ と $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$[Y]/((Y-1)^2-8)$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$[Y]$ とは環として同型だろうか。 (理由も述べること。)