代数学 III 要約 NO.6

今日のテーマ

単純拡大の重要性・復習 I 前回までに述べたように、体 K 上一つの代数的な元で生成されるよう

な体K(α) は、 α の最小多項式 m(X) を用いて構成される環 K[X]/m(X)K[X] と同型であり、それを用いて「共役」の概念が確立されることになるわけだが、 K に複数の元を付け加えた場合はどうだろうか。次の定理がそれに答える。

定理 6.1. K は有理数体 ℚ を部分体に持つような体であるとする。 K 上代数的な元 α, β にたいして、

K(α, β) = K(α + cβ)

を満たすような c ∈ K が存在する。 (実は、もっと強く、上の式を満たさないような c ∈ K は有限個しかないということが言える。 )

問題 4.1[再掲] について、

ℚ[X] の元 f_{1}, f_{2}, f_{3}, f_{4}, f_{5} で、 a = \sqrt{2} + \sqrt{3} にたいして f_{1}(a) = f_{2}(a) = f_{3}(a) = f_{4}(a) = f_{5}(a) を満たすようなものを見つけなさい。

この問題はやさしいのであるが、誤答が目だったので解説する。

問題 6.1.

ℚ(\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5}) = ℚ(\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5})

が成り立つことを示しなさい。

問題 6.2. ℚ 上代数的な元 α, β で、

ℚ(α + β) ≠ ℚ(α, β)

であるようなものの例を挙げなさい。