代数学III 要約 No.8

今日のテーマ

$$X^3-a X^2+b X- c=0$$

を解こう。この方程式の根を $x_1,x_2,x_3$ とする。 根が何であるか、具体的に知らないわけだが、その存在は既に知っている。 $x_1,x_2,x_3$ の持つ性質から逆算して、その解き方を見ようというわけだ。

根と解の違いは何だろうか。解は方程式に代入してみたときの 答えである。 根は、もっと根本的なもので、

$$X^3-a X^2+b X -c =(X- x_1)(X- x_2)(X-x_3)$$ (★)

と一次式の積に因数分解したときに現れるものをさす。 (したがって、当然、根がだぶる(重根)こともある。 「根」というときには厳密には多項式 $X^3-a X^2 +b X -c$ の根というのが正しい。)

上の式(★)を展開することにより、いわゆる根と係数の関係

$$x_1+x_2+x_3=a , x_1 x_2 +x_2 x_3 +x_3 x_1=b, x_1 x_2 x_3=c$$

が得られる。$a,b,c$ は知っている数だから、 $x_1,x_2,x_3$ の 基本対称式の値を知っているということになる。前回に述べたことにより、 $x_1,x_2,x_3$ の対称式の値もこれらから( $x_1,x_2,x_3$ の値を個別に知らなくても) 計算できる。

したがって、如何にして便利な対称式を作るか、が大事になる。ラグランジュの分解式

$$r_1=x_1 +\omega x_2 +\omega^2 x_3,\quad r_2=x_1 +\omega^2 x_2 +\omega x_3$$

を考えてみよう。(ただし $\omega=(-1+\sqrt{-3})/2$.) これら自体は $x_1,x_2,x_3$ の対称式ではないが、

補題 8.1   $t_1=r_1^3+r_2^3$ と $t_2=r_1^3 r_2^3$ はともに $x_1,x_2,x_3$ の 対称式である。

このことから、 $r_1^3,r_2^3$ を二次方程式

$$X^2-t_1 X +t_2=0$$

の二根として計算することができて、 あとはその3乗根として $r_1,r_2$ を計算できる。そこから $x_1,x_2,x_3$ を 出すのは実は一次方程式を解けばよいので簡単である。

4次方程式の場合を考えよう。(前ページと記号が一部重複するが混乱しないこと) 根を $x_1,x_2,x_3,x_4$ とおくと、

$$X^4-a X^3+b X^2 -c X +d = (X- x_1)(X- x_2)(X-x_3)(X-x_4).$$

ここから根と係数の関係が得られ、やはり $x_1,x_2,x_3,x_4$ の 対称式は $a,b,c,d$ から( $x_1,x_2,x_3,x_4$ の値を知らなくても) 計算できる。

ラグランジュの分解式として、

$$r_1=x_1 - x_2 +x_3-x_4, \quad r_2=x_1 - x_2 -x_3+x_4, \quad r_3=x_1 + x_2 -x_3-x_4$$

をとる。 $r_1^2, r_2^2, r_3^2$ の基本対称式

$$s_1= r_1^2 +r_2^2+r_3^2, \quad s_2=r_1^2 r_2^2 +r_2^2 r_3^2 +r_3^2 r_1^2 , \quad s_3=r_1^2 r_2^2 r_3^2$$

はそれぞれ $x_1,x_2,x_3,x_4$ の対称式になっていることが分かり、したがって $a,b,c,d$ から計算できる。 すなわち、 $r_1^2, r_2^2, r_3^2$ は

$$X^3 -s_1 X^2 + s_2 X - s_3$$

の三根であるから、前段のように巾根を用いて $a,b,c,d$ から計算できる。 あとはその平方根を計算すれば、 $r_1,r_2,r_3$ が計算されて、 一次方程式の根として $x_1,x_2,x_3,x_4$ が計算されるという仕組である。

問題 8.1   三次方程式の解法(前ページ)で、 $t_1$, $t_2$ を $a,b,c$ の多項式として実際に書き下しなさい。 (ヒント: $t_2$ は直接やると難しいが、実は $r_1 r_2$ も $x_1,x_2,x_3$ の対称式であることがわかるので、先ずそれを求めてそれから 3乗すればよい。)

問題 8.2   定数 $q$ が与えられたとき、三次の多項式

$$X^3+3 X -q$$

の根を求める公式を作りなさい。

問題 8.3   四次方程式の解法で、 $s_1$, $s_2$, $s_3$ を $a,b,c,d$ の多項式として実際に書き下しなさい。 (特に難問というほどではないが、計算はかなり面倒である。 可能ならば数式処理ソフトなどを活用するとよい。)