代数学 III 要約 NO.9

今日のテーマ

正規拡大

定義 9.1. K の拡大体 L が K の正規代数拡大であるとは、 L の任意の元 a に対して、 a の K 上の最小多項式 f_{a}(X) が存在して、 L 上では一次式の積に分解するときに言う。

定義から、次のことは容易に分かる。

補題 9.1. K の拡大体 M と、そのまた拡大体 L があったとする。もし、 L が K の正規代数拡大体ならば、 L は M の正規拡大体でもある。

正規拡大の判定条件は、つぎのとおり。

補題 9.2. 体 K とその代数拡大体 L があって、 L = K(a_{1}, a_{2}, …, a_{n}) であるとする。このとき、 L が K 上の正規拡大体であるための必要十分条件は、 a_{1}, a_{2}, …, a_{n} の共役がすべて L に属することである。

命題 9.1. 体 K の任意の有限次代数拡大体 M に対して、 M を部分体として含むような K の有限次代数拡大 L で、 K の正規代数拡大であるようなものが存在する。

定義 9.2. ℚ を部分体として含む体 K にたいして、 K の有限次正規代数拡大体のことを K の (有限次) ガロア拡大と呼ぶ。

定義 9.3. 体 K のガロア拡大が与えられているとする。 L の環としての自己同型で、 K の元を動かさないものを Gal(L/K) (または Aut_{K}(L) ) と書き、 L の K 上のガロア群と呼ぶ。

ガロア群と、体とのあいだの関係を記述するのが、いわゆるガロア理論である。

問題 9.1. ℚ 上の 0 でない一変数多項式 f(X) で、

f(\sqrt[3]{5} + \sqrt{7}) = 0

を満たすものを一つ挙げて、その理由を述べなさい。答えは因数分解されたかたちのものでもよい。

問題 9.2. 体 K 上の一変数多項式 f が与えられたとする。このとき、 f の全ての根を K に付け加えた体 L は K の正規拡大体であることを示しなさい。