代数学 III 要約 NO.10

今日のテーマ

ガロア群には十分たくさんの元があること以下、この講義では「ガロア拡大」と言えば有限次ガロア拡大を意味することにする。さらに、「体」と言えば有理数体 ℚ を部分体として含むようなものをさすことにする。

L が K のガロア拡大であるとき、 Gal(L/K) の元はどのくらいあるのだろうか。

定理 10.1. L が K のガロア拡大のとき、

| Gal(L/K)| = [L : K]

系 10.1. L が K のガロア拡大のとき、

(1) L の部分体 M で K を含むもの (L と K の中間体) が与えられると、 Gal(L/M) は Gal(L/K) の部分群とみなすことができる。

(2) L と K のあいだの二つの中間体 M_{1}, M_{2} が M_{1} ⊂ M_{2} をみた

すならば、

Gal(L/M_{1}) ⊃ Gal(L/M_{2})

をみたす。

簡単に言えば、拡大 L/K の話を群 G = Gal(G/K) の話に置き換えられるのである。中間体 M は G の部分群 H = Gal(M/K) に対応させる。

ガロア群の例を幾つか挙げよう。

例 10.1. Gal(ℚ(\sqrt{2})/ℚ) の元 σ は、 σ(\sqrt{2}) の行き先が\sqrt{2} か −\sqrt{2} であるかによって定まり、

Gal(ℚ(\sqrt{2})/ℚ) ≅ C_{2} (位数 2 の巡回群)

例 10.2. Gal(ℚ(\sqrt{2}, \sqrt{5})/ℚ) の元 σ は、 σ(\sqrt{2}) と\sqrt{5} の行き先で定まり、

Gal(ℚ(\sqrt{2}, \sqrt{5})/ℚ) ≅ C_{2} × C_{2}

例 10.3. ω = (−1 + \sqrt{−3})/2 とする。 Gal(ℚ(\sqrt[3]{2}, ω)/ℚ) の元 σ は、 σ(\sqrt[3]{2}) と ω の行き先で定まり、

Gal(ℚ(\sqrt[3]{2}, ω)/ℚ) ≅ 𝔖_{3}

問題 10.1. Gal(ℚ(\sqrt{2} + \sqrt{7})/ℚ) はどのような群になるだろうか。